11. Декартова система координат.

Декартово-прямоугольная система координат в пространстве определяется базисным вектором {i,j,k}.

1. 

   

2. 

3. (i,j,k) образует правую тройку векторов, т.е. поворот от k от i к j виден против часовой стрелки

k

j

i

Построив на данных векторах система координат имеет оси: Ox, Oy, Oz.

Согласно вышесказанному любой вектор можно разложить на базисные вектора.

a=xi+yj+zk=(x,y,z)

Вектор, выходящий из начала координат называется радиус-вектором, координаты радиус-вектора – его проекция на соответствующие координатные оси.

13-14.Действия над векторами в координатной форме. Скалярное произведение векторов

Даны векторы  =a_x, a_y, a_z и  =b_x, b_y, b_z.

1.     (    )=a_x  b_x, a_y  b_y, a_z  b_z.

2.      =a_x, a_y, a_z, где  – скаляр.

 Скалярное произведение векторов.

Определение: Под скалярным произведением двух векторов   и 

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.  = ,    - угол между векторами   и  . 

 Свойства скалярного произведения:

1.       =  

2.     (  +   )  =

3.     

4.     

5.      , где    – скаляры.

6.     два вектора перпендикулярны (ортогональны), если   .

7.      тогда и только тогда, когда  .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид:  , где   и  .

Пример: Найти скалярное произведение векторов   и 

Решение: 

Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов   называется число, определяемое по формуле:  .

 Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не меняется при циклической  перестановке его сомножителей, т.е.  .

2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е.  .

3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов  :  =0.

4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е.  .

 Если известны координаты векторов  , то смешанное произведение находится по формуле: 

Пример: Вычислить смешанное произведение векторов  .

Решение: 

3. Базис системы векторов.

 Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространству R.

Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.

Пример. 

Определение. Любой вектор вида   =  называется линейной комбинацией векторов  . Числа   -коэффициентами линейной комбинации.

Пример.  .

Определение. Если вектор    является линейной комбинацией векторов  , то говорят, что вектор   линейно выражается через векторы  .

Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.

Пример. Система векторов   линейно-зависима, т. к. вектор  .

Определение базиса. Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1. Базис пространства  :  .

 2. В системе векторов    базисом являются векторы:  , т.к.  линейно выражается через векторы  .

Замечание. Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1)     записать координаты векторов в матрицу,

2)    с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3)     ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4)    количество векторов в базисе равно рангу матрицы.