46. Производная сложной функции. Полная производная.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).

Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций.

Формула нахождения производной сложной функции.

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории. Пусть функция имеет вид и ее аргументы зависят от времени: . Тогда , где — параметры задающие траекторию. Полная производная функции f (в точке ) в таком случае равна частной производной g по времени (в соответствующей точке ) и может быть вычислена по формуле:

где — частные производные. Следует отметить, что обозначение является условным и не имеет отношения к делению дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Например, полная производная функции f(x(t),y(t)):

Здесь нет так как f сама по себе («явно») не зависит от t.

47.Дифференцирование неявной функции.

Функция y(x) в окрестности точки x0 обращает уравнение F(x,y) = 0 в тождество, т.е. : F(x,y(x)) ≡0.

Дифференцируя это тождество, получaeм dF(x, y(x)) ≡ 0, а в силу инвариантности формы полного дифференциала имеем

F'x· dx+ F'y· dy(x) ≡ 0  

Отсюда получаем следующие формулы.

Дифференциал функции, заданной неявно: dy(x) = -(F'x/ F'y) · dx.   

Производная функции, заданной неявно:dy/dx= -F'x/ F'y

Теорема 1 обобщается для неявных функций любого числа переменных. Например:

Теорема 2. Пусть функция F(x,y,z) = 0 удовлетворяет условиям

F(x0,y0,z0) = 0 ;

частные производные F'x , F'y и F'z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0,z0) ;

F'z(x0,y0,z0) ≠ 0 .

Тогда

уравнение F(x,y,z) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точки (x0,y0) единственную непрерывную функцию z(x,y) , удовлетворяющую условию z(x0,y0) = z0 ;

функция z(x,y) имеет непрерывные частные производные в окрестности точки (x0,y0) , вычисляемые по формулам

dz/dx=- F'x/ F'z; и

dz/dу=- F'у/ F'z.

48.Частные производные высших порядков

Пусть функция z(x,y) в некоторой окрестности точки (x,y) имеет частные производные ∂z/∂x и ∂z/∂y или в других обозначениях z'_x и z'_y.Частные производные являются функциями x и y , которые, в свою очередь, могут иметь частные производные ∂/∂x(∂z/∂x), ∂/∂y(∂z/∂x), ∂/∂x(∂z/∂y), ∂/∂y(∂z/∂y),

Если это так, то последние называются частными производными 2–го порядка функции z(x,y) и обозначаются соответственно:

∂²z/∂x² или z''_xx; ∂²z/∂y∂x или z''_xy; ∂²z/∂x∂y или z''_yx; ∂²z/∂x² или z''_yy;

Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.

Частные производные, образованные дифференцированием по различным аргументам, называются смешанными частными производными. Например, смешанные производные 2–го порядка функции двух переменных суть z''_xy и z''_yx .

Среди смешанных производных одного порядка выделяют производные

1. отличающиеся количеством дифференцирований по одноименным аргументам (например, z'''_xxy и z'''_xyy );

2. отличающиеся лишь порядком дифференцирования по аргументам (например, z'''_xxy , z'''_xyx , z'''_yxx ).

Теорема о равенстве смешанных частных производных:

Если смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.