5. Определители 2-го и 3-го порядка.

Понятие 2-ого определителя относится только к квадратным матрицам. Пусть дана матрица А₂, определитель матрицы – число . Определители обозначаются: , где i=1,n.

Определители 3-ого порядка. Пусть дана матрица .

Определитель данной матрицы можно вычислить по схеме Саррюса (по правилу треугольника)

=(а₁₁*а₂₂*а₃₃+а₁₂*а₂₃*а₃₁+а₂₁*а₃₂*а₁₃)-( а₃₁*а₂₂*а₁₃+а₂₁*а₁₂*а₃₃+а₃₂*а₂₃*а₁₁)

Свойства определителя:

• Определитель не изменится, если матрицу транспонировать.

• При перестановки 2 параллельных рядов знак определителя меняется.

• Определитель матрицы, имеющей 2 одинаковых ряда = 0.

• Определитель имеющий нулевой ряд = 0.

• общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

• Если элементы какого-либо ряда представляют собой сумму 2 слагаемых, то определитель равен сумме 2 соответствующих определителей.

Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженное на любое число <>0.

6. Понятие обратной матрицы. Построение обратной матрицы.

Квадратная матрица А_n называется невырожденной, если её определитель не равен 0, в противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема: для невырожденной квадратной матрицы А_n имеется единственная обратная матрица – А_n^-1.

Определение: Матрица А_n^-1 называется обратной к матрице А_n, если выполняется А_n* А_n^-1= А_n* А_n^-1=Е_n.

Замечание: Данные равенства используются для проверки правильности нахождения обратной матрицы.

Свойства обратной матрицы:

1. (А^-1)^-1=А

2. (А*В)^-1=В^-1*А^-1

3. (А^R)^-1=(А^-1)^R

4. (А^T)^-1=(А^-1)^T

Методы построения обратной матрицы

1. Метод алгебраического дополнения

Где А^* – матрица, состоящая из транспонированных алгебраических дополнений матрицы А.

А₁₁=(-1)¹⁺¹*

2. Метод с единичной матрицей

7. Понятие системы линейных алгебраических уравнений (слау).

Система вида:

– 1

называется системой m-уравнений с n-неизвестными.

– матрица А составлена из коэффициентов при соответствующих неизвестных.

– столбец сводных значений

– столбец неизвестных

– расширенная матрица системы.

Решением системы являются значения, записанные в виде вектор-строки со значком Т( ), обращающие её в верные равенства.

Если в системе вида 1 , т.е.

– 2 , то система называется однородной.

Множество решений

1. 1 решение,

2. 1 решение ,

7. Решение систем уравнений с неизвестными(методы Крамера, Гаусса, матричный)

1. Формула Крамера.

– основной определитель матрицы

Если , то

1. 

2. 

получают путём замены соответствующего столбца основного определителя на столбец свободного значения.

Ответ:

2. Метод Гаусса

Пусть дана система

Относительно полученной матрицы составляем систему уравнений:

Из последнего уравнения системы, определяем множество решений.

1. 0*x_n=0 – верно при любом x_n, a_nn^’=b_n^’=0

2. a_nn^’=0, 0*x

3. во всех остальных случаях система имеет 1 решение.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Будем предполагать, что основная матрица невырожденная.

Тогда существует обратная матрица. Помножив матричное уравнение на матрицу слева, получим формулу, на которой основан матричный метод решения систем линейных уравнений:

Замечание. Отметим, что матричный метод решения систем линейных уравнений в отличие от метода Гаусса имеет ограниченное применение: этим методом могут быть решены только такие системы линейных уравнений, у которых, во-первых, число неизвестных равно числу уравнений, а во-вторых, основная матрица невырожденная.