Цилиндрические и конические поверхности.
Цилиндрические поверхности
Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей L , если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности S.
Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.
Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.
Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.
Коническая поверхность.
Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через M0 и O, целиком принадлежит этой поверхности.
Функция F(x,y,z)
называется однородной порядка m, если
выполняется следующее:
Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) — однородная функция, то S — коническая поверхность с вершиной в начале координат.
Если поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то S называется конической поверхностью второго порядка.
Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:
19.Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды.
1)Эллипсо́ид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида:
Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка.
В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом.
Эллипсоид более точно, чем сфера, отражает идеализированную поверхность Земли.
Объём эллипсоида:
Площадь поверхности эллипсоида вращения:
2) Гиперболоиды (от греч. hyperbole — гипербола и eidos — вид), незамкнутые центральные поверхности (второго порядка). Различают два вида Гиперболоиды: однополостный Гиперболоиды (рис. 1) и двуполостный Гиперболоиды (рис. 2). Они представляют собой два типа из общего числа пяти основных типов поверхностей второго порядка и в пересечении со всевозможными плоскостями дают все конические сечения — эллипс, гиперболу и параболу, а также пары прямых (в случае однополостного Гиперболоиды). Гиперболоиды неограниченно приближается к конической поверхности Однополостный Гиперболоиды представляет собой линейчатую поверхность(Линейчатая поверхность, совокупность прямых, зависящая от одного параметра). В надлежащей системе координат (см. рис. 1, 2) уравнения Гиперболоиды имеют вид:
x2/a2+y2/b2—z2/c2 = 1 (однополостный),
х2/а2+у2/b2—z2/c2 = —1 (двуполостный).
Рис. 2. Двуполостный гиперболоид. Рис. 1. Однополостный гиперболоид.
3) Параболоиды (от парабола и греч. éidos — вид), незамкнутые поверхности второго порядка, не имеющие центра. Различают два вида Параболоиды: эллиптический Параболоиды (рис. 1) и гиперболический Параболоиды (рис. 2). Параболоиды представляют собой два типа из общего числа пяти основных типов поверхностей второго порядка. Линиями пересечения гиперболического Параболоиды со всевозможными плоскостями пространства являются гиперболы, параболы и прямые. Через каждую точку гиперболического Параболоиды проходят две прямолинейные образующие, и, таким образом, гиперболический Параболоиды представляет собой линейчатую поверхность. Для эллиптического Параболоиды существуют плоскости, не пересекающиеся с ним. Если же плоскость пересекается с эллиптическим Параболоиды, то линией пересечения является либо эллипс, либо парабола. В надлежащей системе координат уравнения Параболоиды имеют вид:
x2/2p + y2/2q = z (эллиптический Параболоиды),
x2/2p — y2/2q = z (гиперболический Параболоиды);
здесь р > 0 и q > 0.
Рис. 2. Гиперболический параболоид. Рис.1. Эллиптический параболоид.