38. Выпуклость, вогнутость графика. Точки перегиба функции.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x0) = 0 или f ''(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.

39.Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

Min и Max наз. точками экстремума. Точек локального экстремума может быть несколько. Если функция задана на промежутке или отрезке, то говорят о нестрогом max. и min.Наименьшее из всех min функции на заданном отрезке наз. Наименьшим значением ф. на отрезке [a, b]. Наиб. из всех max –наиб. значение функции на зад отрезке [a, b].

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда свои наибольшее и наименьшее значения функция достигает в критических точках, лежащих внутки отрезка [a,b], либо на концах отрезка.

Для нахождения max и min на отрезке [a, b] нужно:

1)Найти производную от исходной функции

2) приравнять её к нулю, тем самым найдём критич. точку x , она должна принадлежать промежутку [a, b]

3)Находим f(a) , f(b) , f(x) и из них находим min и max значения

40. Исследование функции и построение графика.

Для полного исслед. Ф. и построения её граф. Можно использовать след. Схему:

1)Указать область определения функции

2)Найти точки разрыва функции, точки пересечения её графика с осями координат и вертикальные асимптоты (если существуют).

3)установить наличие чётности или нечётности, периодичности функции

4)исслед. функцию на монотонность и экстремум

5)определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба

6)найти асимптоты графика функции

7)дополн.вычисления

8)построить график функции

41.Основные понятия функции многих переменных

Ф-ция z = f(x,y)называется ф-цией двух переменных,если любой паре чисел (x,y) из нек. мн-ва D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число z , кот. Обозн. f(x,y) и наз. значением функции f в точке (x,y).

Расстояние r между этими точками вычисляется по ф-ле:

т.е. множество всех точек, лежащих внутри круга радиуса d и с центром в точке М₀.

Ф-ция z = f ( x , y ) определенная на мн-ве D:

 О.Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀):

О.Функция z = f(x,y) наз. непрерывной в точке M₀(x₀,y₀), если она определена в этой точке и ее окрестности и выполняется