15.Векторное произведение.

Векторным произведением с=[a,b](другое обозначение: ахв) не нелевых и не коллинеарных векторов а и в называется вектор, длина которого равна произведению их длин на синус угла между ними: |c|=|[a,b]|=|a|*|b|*sin , перпендикулярный так что тройка векторов [a.b]-правая.(Поворот из конца 3-го вектора против часовой стрелки; левая- по часовой)

Свойства векторного произведения:

1. a, bb, a;

2.  a, ba, b  a, b; -const

3. a, b ca, ba, c;

4. a, b0 при a 0, b 0 тогда и только тогда, когда векторы a и b коллинеарны.

Геометрический смысл векторного произведения a, bсостоит в том, что длина этого вектора численно равна площадипараллелограмма, который построен на векторах a и b , приведенных к общему началу,S a, b.

Физический смысл векторного произведения состоит в том, что момент M силы F, приложенной к точке A относительно точки O, есть векторное произведение векторов OA и F, т. е. M OA, F.

Если векторы a и b заданы a (x1, y1, z1) и b (x2 , y2 , z2 ), то

a, b(y1 z2 y2 z1)i (x1z2 x2z1) j (x1y2 x2 y1)k. или в виде определителя третьего порядка

a, b

16. Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением векторов a, b и c наз. скалярное произведение вектора [a,b]на с.

Свойства: 1. (a,c,b)c,b,a)b,a,c)a,b,c);

2. (a,b,c)b,c,a)c,a,b); (a,c,b)c,b,a)b,a,c)a,b,c);

3. (α1a1 a2 a2 ,b,c) a1( a1,b,c) a2( a2 ,b,c) , где a1,a2 R;

4. (a,b, c)0 при a 0, b 0, c 0 тогда и только тогда,

когда a, b, c – компланарные векторы;

5. векторы a, b, c образуют базис в трехмерном пространстве при условии (a,b, c)0;

6. если (a,b,c) 0, то векторы a, b, c образуют правую тройку; если (a,b,c) 0, – левую.

Когда векторы a, b, c заданы в ортонормированном базисе координатами a (x1, y1, z1), b (x2 , y2 , z2 ) ис (x3 , y3 , z3 ), их смешанное произведение находится по формуле: (a,b,c)=

Если хотя бы один из векторов a, b, c – нулевой, то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл смешанного произведения векторов a, b, c : V a, b, c)|.

17. Понятие поверхности второго порядка. Метод параллельных сечений.

Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени

Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Gx+2Hy+2Lz+K=0 – общее уравнение 2 порядка. В этом уравнение не все коэффициенты 0, иначе – уравнение 1 порядка.

В теории поверхностей второго порядка классифицируют и изучают различные виды поверхностей. Методом их изучения является так называемый метод сечения: исследуются сечения поверхности плоскостями, параллельными координатным или самими координатными плоскостями, и по виду сечений делается вывод о форме поверхности.