- •Понятие матрицы. Виды матриц.
- •Линейные операции над матрицами.
- •Умножение матриц. Натуральная степень матрицы. Многочлены от матриц.
- •Элементарные преобразования матрицы, сведение матрицы к треугольному или трапециевидному виду.
- •Определители 2-го и 3-го порядка.
- •Понятие обратной матрицы. Построение обратной матрицы.
- •Понятие системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •Понятие вектора в пространстве. Линейные операции над векторами.
- •Проекция вектора.
- •Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
- •Декартова система координат.
- •3. Базис системы векторов.
- •15.Векторное произведение.
- •16. Смешанное произведение векторов.
- •17. Понятие поверхности второго порядка. Метод параллельных сечений.
- •Цилиндрические и конические поверхности.
- •19.Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды.
- •20.Уравнения плоскости в пространстве.
- •22 Уравнения прямой в пространстве.
- •23 Основные задачи на прямую в пространстве
- •24 Прямые и плоскости в пространстве
- •25. Предел функции в точке и на бесконечности.
- •26. Свойство функции, имеющих придел.
- •27.Замечательные пределы
- •28 .Бесконечно малые функции. Эквивалентность бесконечно малых функций. Бесконечно малые ф-ции
- •Эквивалентность бесконечно малых функций
- •29. Односторонние пределы.
- •30. Понятие непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций.
- •31) Классификация точек разрыва функции
- •32 Понятие производной и правила ее нахождения. Геометрический смысл.
- •33. Производные высших порядков функций, заданных параметрически или неявно.
- •34. Понятие дифференциала первого порядка.
- •Геометрический смысл дифференциала первого порядка.
- •Дифференциалы высшего порядка.
- •37. Необходимые и достаточные условия монотонности и экстремума функции.
- •38. Выпуклость, вогнутость графика. Точки перегиба функции.
- •39.Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
- •40. Исследование функции и построение графика.
- •41.Основные понятия функции многих переменных
- •42. Предел функции двух переменных
- •43. Непрерывность функции двух переменных
- •44. Частные производные двух переменных и их геометрический смысл.
- •45. Дифференцируемость и полный дифференциал функции.
- •46. Производная сложной функции. Полная производная.
- •47.Дифференцирование неявной функции.
- •48.Частные производные высших порядков
- •48 Дифференциалы высших порядков
25. Предел функции в точке и на бесконечности.
y=f(x) определена некоторой областью Д, рассмотрим понятие придела функции в точке х0.
Определение1(по гейне): Число А наз. приделом функции f(x) в точку х0, если ф-ция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки х0 и для любой последующей х(н-ое) при х(н)→х0 , когда н→∞ и х(н) не равно х0 последовательности соответствует значение функции и сводится к числу а. Обозначается .
Замечание. Проколотой окрестностью точки х0 называется любая окрестность второй точки, то есть симметричный интервал, исключающий саму точку.
определение 2(по коши): Число наз. приделом функции у= f(x), если для любого сколь угодно малого числа Е(эпсилон)>0 найдется такое число а, зависящее от Е>0 что для всех х, для которых выполняется неравенство |x-x0|<a(x неравно а) следует что любое х-а<Е.
замечание: Число а выбирается индивидуально для каждой точки х0 и для каждого Е.
Определение 3(геометрическая интерпретация определения по коши): Число а предел ф-ции y=f(x) в точке х0, если функция y=f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки х0 и для любой Е окрестности точки а существует проколотая дельта х окрестности точки х0, такая что как только аргумент х0 принадлежит этой проколотой дельта-окрестности значение функции попадает в Е окрестность точки а.
замечание:все три данные определения эквивалентны и это доказуемо.
Не всякая функция имеет придел в точкех0=0. по определениям придел это число, функция у=Lnx при х→0, стремится к ∞ таким образом относительо придела функции возможны случаи:
1.функция имеет придел в точке это число.2.функция придела не имеет (1.функция является бесконечно большой в этой точке. 2. не определен вообще)
26. Свойство функции, имеющих придел.
теор.1. если функция имеет придел в точке то он единственный.
теор.2.если функция имеет придел в точке то она огроничена некоторой проколотой окрестностью этой точки.
теор.3.если функция y=f(x)имеет придел а в точке х0 то существует проколотая окрестность точки в кот. функция имеет знак, совподающий со знаком придела а, а неравно 0.
теор.4.если и в некоторой проколотой окрестности х0 для любых х имеет место неравенство f1(x)≤f(x)≤f2(x) тогда .
теор.5.пусть функции f(x)и g(x) имеют придел в точке х0 тогда справедливы формулы:
Замечание1:формулы суммы и произведения(2,3) обобщаются на любое конечное число множителей, если использовать их для бесконечного кол-ва множеьелей то может возникнуть ошибка.
Замечание2: Как в результате применения формул (1-4) возникла неопределенность, то сперва нужно от неё избавится для получения однозначного результата.
27.Замечательные пределы
Замечательные пределы — термин, использующийся для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел:
Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере, при условии стремления этой дуги к нулю.
Из геометрических соображений имеем SDOAС< SOAC < SDOBC.
Замечание. Если х < 0, то знаки неравенств изменяются на противоположные, выводы же остаются прежними.
Второй замечательный предел: Доказательство. Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x → ∞.
С ростом основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении сказать нельзя. Для вычисления можно воспользоваться выражением для бинома Ньютона:
Из полученного выражения следует, что с увеличением величина растет.
Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида единицей. Так как , то .
В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма первых членов такой прогрессии равна: .
В нашем случае . С ростом n величина будет, очевидно, стремится к единице. Значит, , то есть, ограничено сверху.
Итак, мы получили, что . Но так как монотонно возрастающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел:
Можно доказать, что данный предел справедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений :
Полученное выражение и называется вторым замечательным пределом.
Число используется для введения натуральных логарифмов. Такие логарифмы обозначаются , при этом .