Понятие вектора в пространстве. Линейные операции над векторами.
Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром.
(Масса тела, объем, время и т.д.)
Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором.
(Перемещение, сила, скорость и т.д.)
Геометрический вектор – это направленный отрезок.
Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB.
Определение 4. Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым.
Определение 5. Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными.
Определение 6. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю.
Линейные операции над векторами
сложение. чтобы сложить 9 вектора в пространстве (на плоскости), можно использовать геометрический метод треугольника или параллелограмма.
– сумму конечного
вектора находят по правилу ломанной,
которая не обязательно лежит в одной
плоскости.
Для операции сложения появились свойства:
Для всяких векторов a,b существует 1-ое a+b
a+b=b+a – коммутативность
(a+b)+c=a+(b+c) – ассоциативность
a+0=a
Умножение вектора на число
*
0*a=0
Разность векторов
a-b=a+(-b)=a+(-1*b)
Проекция вектора.
Проекцию L называют осью, если на ней задано направление.
Углом между вектором и осью называют наименьшим углом, на который надо повернуть вектор, чтобы его направление совпало с направлением оси.
Спроектируем перпендикулярно начало и конец вектора а на ось L. Полученные точки будем считать соответственно началом и концом вектора аL, которая называется геометрической проекцией вектора а, на ось L.
Вектор геометрической проекции может иметь направление совпадающее с направлением оси L или противоположное этому направлению. Он может быть точкой и являться 0(векторный).
Алгебраическая проекция вектора а на ось L – длинна его геометрической проекции, взятая со знаком +, если направление совпадает, и -, если направление противоположное.
a>0(1) a=0(2) a<0(3)
Алгебраическая
проекция– число, для которого справедлива
формула, где y=(a,
)
Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
Линейной комбинацией
векторов
называется выражение вида
с1*а1+с2*а2+...+сn*аn
Определение линейной зависимости системы векторов
Система векторов A1, A2,...,An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел с1, с2,...,сn, при котором линейная комбинация векторов с1*A1+с2*A2+...+сn*An равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет ненулевое решение.
Набор чисел с1, с2,...,сn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел с1, с2,...,сn отлично от нуля.
Определение линейной независимости системы векторов
Система векторов A1, A2,...,An называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов с1*A1+с2*A2+...+сn*An равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел с1, с2,...,сn, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет единственное нулевое решение.
Базис
Вектор а называется разложенным по векторам а1, а2, … , аn если он представлен в виде лин. Комбинации а=с1*а1+с2*а2+cn*an
Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.
Любой вектор плоскости и пространства можно разложить по базисным векторам.
Разложение базиса в пространстве:
C=x*e1+y*e2+z*e3
Базисные вектора принимаются за единицу длинны в своём направлении.
Базисов можно выбрать бесконечно много.