- •Понятие матрицы. Виды матриц.
- •Линейные операции над матрицами.
- •Умножение матриц. Натуральная степень матрицы. Многочлены от матриц.
- •Элементарные преобразования матрицы, сведение матрицы к треугольному или трапециевидному виду.
- •Определители 2-го и 3-го порядка.
- •Понятие обратной матрицы. Построение обратной матрицы.
- •Понятие системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •Понятие вектора в пространстве. Линейные операции над векторами.
- •Проекция вектора.
- •Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
- •Декартова система координат.
- •3. Базис системы векторов.
- •15.Векторное произведение.
- •16. Смешанное произведение векторов.
- •17. Понятие поверхности второго порядка. Метод параллельных сечений.
- •Цилиндрические и конические поверхности.
- •19.Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды.
- •20.Уравнения плоскости в пространстве.
- •22 Уравнения прямой в пространстве.
- •23 Основные задачи на прямую в пространстве
- •24 Прямые и плоскости в пространстве
- •25. Предел функции в точке и на бесконечности.
- •26. Свойство функции, имеющих придел.
- •27.Замечательные пределы
- •28 .Бесконечно малые функции. Эквивалентность бесконечно малых функций. Бесконечно малые ф-ции
- •Эквивалентность бесконечно малых функций
- •29. Односторонние пределы.
- •30. Понятие непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций.
- •31) Классификация точек разрыва функции
- •32 Понятие производной и правила ее нахождения. Геометрический смысл.
- •33. Производные высших порядков функций, заданных параметрически или неявно.
- •34. Понятие дифференциала первого порядка.
- •Геометрический смысл дифференциала первого порядка.
- •Дифференциалы высшего порядка.
- •37. Необходимые и достаточные условия монотонности и экстремума функции.
- •38. Выпуклость, вогнутость графика. Точки перегиба функции.
- •39.Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
- •40. Исследование функции и построение графика.
- •41.Основные понятия функции многих переменных
- •42. Предел функции двух переменных
- •43. Непрерывность функции двух переменных
- •44. Частные производные двух переменных и их геометрический смысл.
- •45. Дифференцируемость и полный дифференциал функции.
- •46. Производная сложной функции. Полная производная.
- •47.Дифференцирование неявной функции.
- •48.Частные производные высших порядков
- •48 Дифференциалы высших порядков
48 Дифференциалы высших порядков
Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х — независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ'(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d2y или d2ƒ(х).Итак, по определению d2y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х). Т. к. dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным: d2y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(ƒ'(х)dx)'•dx=f"(x)dx•dx=f"(x)(dx)2 т. е. d2y=ƒ"(х)dх2. (24.5) Здесь dx2 обозначает (dx)2.Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка d3y=d(d2y)=d(ƒ"(х)dx2)≈f'(x)(dx)3. И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: dny=d(dn-ly)=f(n)(x)(dx)n. Отсюда находим, что , В частности, при n=1,2,3 соответственно получаем:
т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной. Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х — независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х — функция от кαкой-mo другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:
d2y=d(f'(x)dx)=d(ƒ'(х))dx+ƒ'(х)•d(dx)=ƒ"(х)dx•dx+ƒ'(х)•d2x, т. е.
d2y=ƒ"(х)dx2+ƒ'(х)•d2x. (24.6)
Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ'(х)•d2х. Ясно, что если х — независимая переменная, то d2x=d(dx)=d(l•dx)=dx•d(l)=dx•0=0 и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).