§2. Критерий согласия Пирсона

Одной из задач математической статистики является отыскание закона распределения случайной величины. Часто встает вопрос о проверке предположения о нормальном распределении результатов в генеральной совокупности. Для решения этого вопроса используют критерий Пирсона. Для этого сравнивают наблюдаемые частоты и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты. Обычно эти частоты различаются. Критерий Пирсона определяет, случайны ли расхождения наблюдаемых и теоретических (выравнивающих) частот или эти расхождения являются следствием неправильности гипотезы.

Этапы проверки гипотезы:

1. Выдвигаем нулевую гипотезу:

H₀: результаты в генеральной совокупности распределены нормально.

2. Определяем выравнивающие частоты :

, где

n - объем выборки,

h - величина интервала (разность между двумя соседними вариантами),

, - (значение функции см. в таблице, учитывая, что - четная функция).

Вычисления выравнивающих частот оформляется в виде таблицы:

i	xi	ni			(ui)

3. Определяем расчетное значение критерия ₀²:

, где m – число различных вариант выборки.

Вычисления также представим в виде таблицы:

i

4. Определяем число степеней свободы :

 = m-3 , где m – число различных вариант выборки.

Определение Под числом степеней свободы понимают разность между числом измеряемых значений и числом линейных связей между ними.

5. Находим критическое значение критерия согласия ²:

По заданному уровню значимости и числу степеней свободы  по таблице находим ²( ; ).

6. Проверка гипотезы: сравниваем расчетное значение ₀² критерия с табличным ².

Если ₀² > ², то гипотеза отвергается на уровне значимости .

Если ₀² ≤ ², то гипотеза принимается на уровне значимости .

§3. Оценка параметров генеральной совокупности

Основная задача, решаемая с помощью методов математической статистики – получение информации о закономерностях изменения изучаемого признака для генеральной совокупности.

Задача оценки параметров состоит в получении наилучших в определенном смысле оценок параметров распределения генеральной совокупности на основании выборочных данных. В частности по известным величинам выборочных характеристик ( , , и т.д.) определяют интервал, в котором с той или иной вероятностью находится соответствующее значение параметра генеральной совокупности ( , , и т.д.).

При оценке параметров пользуются теми же значениями доверительной вероятности q, что и в случае проверки гипотез: 0,9; 0,95; 0,99; 0,999.

Определение Интервал, в котором с заданной вероятностью находится среднее арифметическое значение генеральной совокупности, называется доверительным интервалом. Концы доверительного интервала называются доверительными границами.