§3. Классическое определение вероятности

Определение События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно их них не является более возможным, чем другое.

Пример см. выше

Определение Событие В называют благоприятствующим событию А, если появление события В влечет за собой появление события А.

Определение Под вероятностью наступления события будем понимать отношение числа исходов благоприятствующих наступлению данного события, к числу всех исходов испытания.

, где m - число благоприятствующих исходов,

n – число всех исходов испытания.

Для случайного события: m<n.

Для достоверного события: m=n.

Для невозможного события: m=0.

Таким образом, границы значений вероятностей события:

.

Пример: Из числа талонов занумерованных всеми двузначными числами, наудачу берется один. Какова вероятность того, что номер взятого талона состоит из одинаковых цифр?

Решение: А - номер взятого талона состоит из одинаковых цифр.

n=90, m=9, .

§4. Основные теоремы о вычислении вероятностей сложных событий

4.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Определение Событие С называется суммой событий А и В, если оно состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Записывают С=А+В.

Теорема Если события А и В несовместны, то .

Теорема сложения позволяет установить соответствие между вероятностями двух противоположных событий: .

Пример: В корзине 10 шаров: 3 красных, 5 синих, 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар?

Решение: С – вынуть цветной шар.

А – вынуть красный шар, .

В – вынуть синий шар, .

С=A+B .

4.2. Теорема умножения вероятностей независимых событий

Определение Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Определение Событие С называется произведением событий А и В, если оно состоит в появлении обоих событий А и В. Записывают С=А·В.

Теорема Если события А и В независимые, то .

Пример: В корзине 2 белых и 2 черных шара.

А - вынуть белый шар, . Затем шар кладется обратно.

В – вынут белый шар во втором испытании,

Вывод: А, В – независимые события.

4.3. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Определение Условной вероятностью события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.

Обозначают: P_A(B)

Теорема Если события А и В зависимые, то .

Пример: В корзине 2 белых и 2 черных шара. Какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары?

Решение:

А - вынуть белый шар в первом испытании, .

В - вынуть белый шар во втором испытании, .

События зависимые, следовательно,

.

4.4. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема Если события А и В совместны, то .

Пример: Найти вероятность того, что подброшенный игральный кубик упадет, показав на верхней грани четное или кратное 3 число.

Решение: А – выпадет четное число, .

В – выпадет кратное 3 число, .

А и В – совместные события.

А·В – выпадет четное число, кратное 3, .

.