§4. Расстояние от точки до прямой

Пусть дана прямая и точка М₀(x₀;y₀), не лежащая на прямой. Построим проекцию точки на прямую. Тогда - расстояние от точки до прямой.

- расстояние от точки до прямой.

§5. Кривые второго порядка

5.1. Окружность

Определение Окружностью называется кривая, представляющая собой множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

x²+y²=r² - уравнение окружности с центром в начале координат

(x-a)²+(y-b)²=r² - уравнение окружности с центром в точке (а;b)

5.2. Эллипс

Определение Эллипсом называется кривая, представляющая собой множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

- каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат.

Для любой произвольной точки М(x;y), лежащей на эллипсе выполняется следующее условие: .

Между параметрами имеет место соотношение: .

Свойства эллипса

1. Эллипс симметричен относительно осей координат.

2. Эллипс имеет два фокуса F₁(c;0), F₂(-c;0) и четыре вершины A₁(a;0), A₂(-a;0), B₁(b;0), B₂(-b;0).

3. Эллипс имеет две оси: A₁A₂=2a - большая ось, B₁B₂=2b - малая ось.

4. Степень сжатости эллипса определяет число , называемое эксцентриситетом.

5. Четырехугольник, проходящий через точки A₁, A₂, B₁, B₂ со сторонами, параллельными осям координат, называется характеристическим.

5.3. Гипербола

Определение Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

- каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат.

Для любой произвольной точки М(x;y), лежащей на гиперболе выполняется следующее условие: .

Между параметрами имеет место соотношение: .

Свойства гиперболы

1. Гипербола симметрична относительно осей координат.

2. Гипербола имеет два фокуса F₁(c;0), F₂(-c;0) и две вершины A₁(a;0), A₂(-a;0).

3. Гипербола имеет две оси: A₁A₂ - действительная ось, B₁B₂ - мнимая ось. A₁A₂=2a. B₁B₂=2b.

4.Степень сжатости гиперболы определяет число , называемое эксцентриситетом.

5.Четырехугольник, проходящий через точки со сторонами, параллельными осям координат, называется характеристическим. Его диагонали являются асимптотами гиперболы. Уравнения асимптот: и .

5.4. Парабола

Определение Параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

- каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы p, тогда

– уравнение директрисы.

Расстояние от фокуса до директрисы делится точкой начала координат пополам.

Для любой произвольной точки М(x;y), лежащей на параболе выполняется следующее условие: MK=MF.

Свойства параболы

1. Парабола симметрична относительно оси OX.

2. Парабола имеет один фокус и одну вершину в точке O (0;0).

3. Парабола расположена вправо от оси OY.