§7. Понятие производной функции

Пусть функция y=f(x) определена на некотором множестве X. Возьмем точку и произвольную точку . Разность x-x₀ называется приращением аргумента и обозначается , то есть .

Разность f(x)-f(x₀) называется приращением функции и обозначается , то есть или .

Если и - соответственно приращения аргумента и функции, то отношение выражает среднюю скорость изменения функции при изменении аргумента от значения x₀ до . Когда , то предел, к которому стремится отношение , если он существует, представляет скорость изменения функции для данного значения аргумента x₀.

Определение Предел отношения при называется производной функции в точке и обозначается:

.

Замечание. Операция взятия производной называется дифференцированием.

§8. Геометрический смысл производной

Пусть y=f(x) непрерывна на D(f). Построим график функции и возьмем на полученной кривой точку М₀(x₀;y₀).

Проведем касательную к графику функции в точке М₀, тогда: производная функции f(x) в точке x₀ есть угловой коэффициент касательной к графику функции в точке М₀(x₀;y₀).

Уравнение касательной к графику функции в точке М₀(x₀;y₀) имеет вид:

§9. Механический смысл производной

§10. Правила дифференцирования

Пусть u=u(x) и v=v(x) имеют производные в точке соответственно равны и , тогда:

1. (u ± v)=u±v.

2. (uv)=uv + uv.

3. .

4. (Cu)=Cu , где C=const.

5. Пусть , где u, в свою очередь, есть функция от аргумента : , тогда .

§11. Таблица производных элементарных функций

1. , C=const 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7. 14.

§12. Производные высших порядков

Под производной n-го порядка будем понимать производную от производной (n-1)-го порядка, то есть или .

§13. Дифференциал функции

Определение Дифференциалом функции f(x) в точке x называется линейная относительно часть приращения функции (или ).

Обозначают:

Замечание. Дифференциал аргумента равен его приращению, то есть . Следовательно, - дифференциал функции в данной точке равен произведению ее производной в этой точке на дифференциал аргумента.

§14. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

14.1. Возрастание и убывание функции

По первой производной можно решить вопрос о возрастании и убывании функции.

Рассмотрим функцию y=f(x), определенную и дифференцируемую на интервале (a;b).

Если производная f(x) на интервале (a;b) положительна f(x)>0, то функция f(x) возрастает на интервале (a;b), если производная f(x) отрицательна [ f(x)<0], то функция f(x) убывает на интервале (a;b) .

14.2. Экстремум функции

В точках, где производная обращается в 0, то есть y=0, функция может иметь максимум или минимум.

Функция y=f(x) имеет максимум в точке x=x₁, если можно найти такую окрестность точки x₁, в которой при всех x ≠ x₁ выполняется неравенство: f(x)<f(x₁).

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x=x₂, если можно найти такую окрестность точки x₂, в которой при всех x ≠ x₂ выполняется неравенство: f(x)<f(x₂).

Пусть для функции y=f(x) y обращается в 0 в точке x₀.

Если при переходе через эту точку y меняет знак с «+» на «-», то x₀ - точка максимума, если y меняет знак с «-» на «+», то x₀ - точка минимума.