§3. Расчет коэффициента корреляции методом условных вариант

При сгруппированных данных выборки коэффициент корреляции определяют по формуле:

.

Пусть признаки X и Y имеют следующие значения:

Этапы расчета коэффициента корреляции

1. Переходим к условным вариантам u и v:

, , где

A_x - варианта признака X, имеющая наибольшую частоту,

A_y - варианта признака Y, имеющая наибольшую частоту,

h_x - величина интервала признака X,

h_y - величина интервала признака Y.

2. Расчет основных статистических характеристик , , , :

, ,

, ,

,

v u	u1	u2	…	uk
v1
v2
…
vt
					∑	∑		∑	∑
					∑
					∑

3. Расчет коэффициента корреляции:

.

§4. Ошибка коэффициента корреляции

Так как коэффициент корреляции вычислен для выборки из генеральной совокупности, то всегда существует ошибка коэффициента корреляции.

Определение Ошибкой коэффициентом корреляции называется расхождение между коэффициентом корреляции выборки объемом n и коэффициентом корреляции для генеральной совокупности.

Обозначают: S_r

, ,

, .

§5. Регрессионный анализ

Коэффициент корреляции указывает на степень тесноты взаимосвязи между двумя признаками, но он не дает ответа на вопрос, как изменение одного признака на одну единицу его размерности влияет на изменение другого признака. Для того, чтобы ответить на этот вопрос, пользуются методами регрессионного анализа.

Регрессионный анализ предполагает в первую очередь вычисление коэффициентов регрессии, причем в случае двух признаков таких коэффициентов два.

Обозначение: - коэффициент регрессии X на Y

- коэффициент регрессии Y на X

Определение Коэффициентом регрессии называется величина, показывающая, на сколько единиц размерности изменится величина Y при изменении величины X на одну единицу ее размерности.

Аналогично определяется коэффициент регрессии .

Коэффициенты регрессии вычисляются по формулам:

, .

Как и коэффициент корреляции, коэффициент регрессии может принимать и положительные и отрицательные значения. Например, если коэффициент имеет знак (-), то это означает, что при увеличении значения признака X на единицу его размерности значение признака Y уменьшается на величину, равную .

Если корреляционное поле двух признаков имеет форму, близкую к эллипсу, то зависимости X от Y и Y от X описываются уравнениями регрессии:

, .

, .

Уравнения регрессии являются уравнениями прямых линий в плоскости XOY, проходящих внутри корреляционного поля. Такие линии называются линиями регрессии.

Линия регрессии пересекает ось OY в точке y=a_y и проходит под углом α к оси OX причем .

Линия регрессии пересекает ось OX в точке x=a_x и проходит под углом β к оси OY причем .

Этапы расчета уравнений регрессии

(для сгруппированных данных)

1. Расчет коэффициентов регрессии и :

, .

2. Расчет выборочных средних и :

3. Расчет уравнений регрессии:

, .

, .

Пример: X(см) – результаты в прыжках в длину;

Y(с) – результаты в беге на 100м.

Коэффициент корреляции r=-0,56.

Уравнение регрессии Y на X имеет вид: y=15,00-0,54x.

Сделать вывод.

Вывод: Коэффициент корреляции r=-0,56 свидетельствует о заметной тесноте взаимосвязи между рассматриваемыми признаками. Отрицательное значение коэффициента корреляции говорит об обратной взаимосвязи, то есть с увеличением результатов в прыжках в длину результаты в беге на 100м имеют тенденцию к улучшению (уменьшению) и наоборот. По уравнению регрессии Y на X можно прогнозировать результаты в беге на 100м по данным результатов в прыжках в длину. Коэффициент регрессии Y на X равен -0,54, то есть при увеличении результата в прыжках в длину на 1см, результат в беге на 100м улучшится на 0,54с.

42