14.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Для отыскания наибольшего или наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:
1. Найти производную f (x).
2. Найти критические точки функции, в которых f (x)=0 или не существует.
3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее fmax или наименьшее fmin.
14.4. Выпуклость, вогнутость функции
По второй производной можно решить вопрос о выпуклости и вогнутости графика функции на интервале и найти точки перегиба.
Пусть y=f(x)
определена
на D(f)
и дважды дифференцируема в точке
.
Определение Кривая называется вогнутой (выпуклой) в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки, она расположена выше (ниже) касательной, проведенной к ней в точке (x0 ;f(x0)).
14.5. Точки перегиба функции
Определение Точка, в которой происходит изменение выпуклости на вогнутость или вогнутости на выпуклость, называется точкой перегиба.
Определение Кривая называется выпуклой или вогнутой на интервале (a;b), если она выпукла или вогнута в каждой точке этого интервала.
Если в каждой точке интервала (a;b) вторая производная f(x) отрицательна [f(x)<0], то график функции y=f(x) выпуклый на этом интервале, а если вторая производная f(x) положительна [f(x)>0], то график функции вогнутый.
§15. Задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величин
Тема 3. Интегрирование функций
План:
1. Неопределенный интеграл и его свойства
2. Таблица основных интегралов
3. Основные методы интегрирования
3.1. Непосредственное интегрирование
3.2. Метод замены переменной
3.3. Метод интегрирования по частям
4. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла
5. Вычисление определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница
6. Приложение определенного интеграла
6.1. Вычисление площадей плоских фигур
6.2. Вычисление объемов тел вращения относительно оси OX и оси OY
6.3. Вычисление пути, пройденного точкой
§1. Неопределенный интеграл и его свойства
Задача интегрального исчисления состоит в нахождении функции по ее производной или дифференциалу. Пусть дана функция y=f(x), определенная на X.
Определение Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если F(x)=f(x).
Если функция f(x) имеет одну первообразную F(x), то она имеет их бесчисленное множество. Выражение F(x)+C, где C- произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные для функции на данном промежутке.
Определение Неопределенным интегралом от функции f(x) по переменной x называется выражение F(x)+C, где C- произвольная постоянная.
Обозначают:
,
где
f(x) - подынтегральная функция,
f(x)dx - подынтегральное выражение.
Свойства
1.
3.
2.
4.
§2. Таблица основных интегралов
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.