§3. Основные методы интегрирования
3.1. Непосредственное интегрирование
Элементарные функции можно интегрировать, используя свойства неопределенных интегралов и таблицу основных интегралов.
Пример:
.
3.2. Метод замены переменной
В некоторых случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного. Такой метод называется методом замены переменной.
Пусть f(x)
интегрируема на промежутке X
и x=φ(t)
- монотонна
и непрерывно дифференцируемая функция,
тогда справедлива формула замены
переменной:
.
Пример:
,
где
3x+1=t,
dt=3dx,
.
3.3. Интегрирование по частям
Пусть u=u(x) и v=v(x) непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке, тогда справедлива формула интегрирования по частям:
.
Пример:
,
где
,
;
тогда
,
.
§4. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла
Рассмотрим задачу вычисления площади криволинейной трапеции.
Пусть криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции y=f(x) (f(x)>0 на [a;b]), снизу отрезком [a;b], справа и слева соответственно прямыми x=a и x=b.
Для нахождения значения площади криволинейной трапеции заменим ее ступенчатой фигурой: разбиваем отрезок [a;b] на n частей точками а=x0<x1<x2<…<xn=b. На каждом частичном отрезке [xi-1;xi] выберем точку ξi и построим прямоугольник с основанием [xi-1;xi] и высотой f(ξi).
Определение
Если существует предел интегральных
сумм
при
λ→0
(где
),
не зависящий ни от способа разбиения
отрезка [a;b]
на частичные
ни от выбора точек ξi,
то этот предел называется определенным
интегралом
от функции f(x)
на отрезке [a;b].
Обозначают:
,
где
а – нижний предел интегрирования,
b – верхний предел интегрирования.
Свойства определенного интеграла
1.
.
2.
.
3.
,
где СЄ[a;b].
4.
.
5.
.
6.
,
где С=const.
§5. Вычисление определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница
Если функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x)- первообразная для f(x) на [a;b], то справедлива формула Ньютона-Лейбница:
.
Пример:
.
Так как, вычисления определенных интегралов связано с нахождением неопределенных интегралов, то основные методы интегрирования остаются те же, но с наличием пределов интегрирования.
§6. Приложение определенного интеграла
6.1. Вычисление площадей плоских фигур
Рассмотрим возможные случаи:
6.2. Вычисление объемов тел вращения относительно оси ox и оси oy
6.3. Вычисление пути, пройденного точкой
Тема 5: Элементы теории вероятностей План:
1. Некоторые формулы комбинаторики
2. Предмет теории вероятностей. Основные определения
3. Классическое определение вероятности
4. Основные теоремы о вычислении вероятностей сложных событий
4.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
4.2. Теорема умножения вероятностей независимых событий
4.3. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
4.4. Теорема сложения вероятностей совместных событий
5. Формула полной вероятности