112Раздел первый. Химические процессы и реакторы

вреакционной системе более высоких концентраций реагентов

можно создать каскад реакторов идеального смешения последова­

тельным включением нескольких реакторов.

§ 5.4. Каскад реакторов идеального смешения

Каскад представляет собой несколько последовательно со­

единенных nроточных реакторов (секций) идеального смешения

(рис. 5.9). Реакционная смесь проходит через все секции. Можно

рассматривать в качестве примера такой модели не только систему

последовательно расположенных отдельных апnаратов, но и про­

точный реактор, тем или иным образом разделенный внутри на

секции, в каждой из которых осуществляется персмешивание

реакционной смеси (рис. 5.1 0). Наnример, близка к такому типу аппарата тарельчатая барботажная колонна.

Для каскада реакторов идеального смешения должны выпол­

няться следующие допущения об идеальности:

в каждой секции каскада выполняются условия реактора иде­

ального смешения, т. е. мгновенное изменение параметров про­

цесса, равенство параметров во всех точках секции и в потоке,

выходящем из нее;

отсутствие обратного влияния: каждый последующий реактор

не влияет на предыдущий.

На рис. 5.1 1 сравнивается характер изменения концентрации

исходного реагента при прохождении реакционной смеси через

различные реакторы.

Математическая модель каскада реакторов идеального смеше­ ния, работающего в изотермическом режиме, представляет собой систему уравнений материального баланса по какому-либо участ­ нику реакции, включающую по меньшей мере N уравнений по

числу секций каскада 1•

Уравнения материального баланса для любой секции каскада однотипны. Материальный баланс по компоненту J для i-й сек­

ции в стационарном режиме работы каскада имеет вид

vcJ,i-l - vc1,; - wr1(c1)V; =О			(5.18)
[см. уравнение (5.6)] или
_ V,	с1 н - с1	;
'L·=-'-=	'	,
1	Wr1 (c1,;)
V		'

1 Если составляется модель каскада реакторов для вроведсния сложной реакuии, где недостаточно материального баланса только по одному компоненту- у•!аст­

нику реакuии (материальные балансы по разным компонентам не тожпсственны, как

в случае простой реакции), то число уравнений математи•Iеской модели кратно N.

Глава 5. Хилшческие реакторы с ш)еалыюй структурой потока

113

Рис. 5.9. Схема каскада реакторов идеального смешения

гле 'f; - среднее время пребывания

реакционной смеси в i-й секции; v;- реакционный объем i-й секции;

cJ.i-J- концентрация участника реак­

ции J на входе в i-ю секцию, равная

концентраrrии на выходе из (i- 1)-й

секции; с 1 ;- концентрация компо­

нента J на' выходе из i-й секций.

Расчет каскада реакторов идеаль­ ного смешения обычно сводится к

определению •шсла секций заданно­

го объема, необходимых для дости­

жения определенной глубины превра­

щения, или к определению состава

реакционной смеси на выходе из i-й

секции каскада.

Допущения об отсутствии обрат­

ного влияния в каскаде реакторов

идеального смешения существенно

упрощает расчет. По сути дела он

сводится к последовательному реше­

нию уравнений материального ба­

ланса для каждой секции относи­ тельно концентрации реагента (или

продукта) на выходе. Выходной па­

раметр для первой секции (концент­ рация с1_ 1), полученный из первого

уравнения, является входным пара­

метром для второй секции, выходной параметр второй секции - входным

для третьей и т. д.

Различают аналитический и чис­

ленные методы расчета каскада. При­

менение аналитического метода воз-

Рис. 5. 10. Схема секционного

аппарата с пере~1ешиванием

о

z

Рис. 5.11. Изменение концент­

рации реагента при прохож­

дении реакционной смеси че­

рез последовательные секции

единичного реактора идеаль­

ного смешения ( 1 ), реактора

идеального вытеснения (2)

икаскада реакторов идеаль­

ного смешения (3)

114	Раздел первый. Химические процессы и реакторы

можно в том случае, если уравнения материального баланса могут

быть аналитически решены относительно концентрации cJ. Это

можно сделать, наnример, если nротекающие реакции оm1Сыва­

ются кинетическими уравнениями первого или второго порядка.

Рассмотрим определение концентрации реагента А на выходе из каскада реакторов, включающего в себя N секций равного объ­ ема ( ~ = V2 = ... = v; = ... = V:v) при проведении реакции первого

порядка, скорость которой описывается уравнением w,A = kc А. Из

уравнения материального баланса для первой секции

'f1 = J!; 1и= (сА,о- сА,!) /(kcA,I)

определяем

сА,! = сА,О /(1 + k'fl).

Полученное значение Сл 1 подставляем в качестве входной кон­

центрации в уравнение материального баланса для второй секции:

Tz = ~	= сА,! - сА,2	[ Сл,о / (1 + k'fl )] - Сл,2
v	kcл,z		kcA,l
из него овределяем
сл.2 = сл.u/[(1		+ kт 1)(1	+ kт 2)].
При равенстве объемов секций 'f1 = 'f2 = ... = 'f;					= ... = т
	сA,z = сл,о 1(1 + kт)2			•
Продолжая аналогичные расчеты, для N-й (последней) секции
каскада получим
	сА=сл,о/(l+kт(.				(5.19)
Если учесть,	что Сл/Сл.о = 1- Хл,		уравнение		(5.19) можно
записать в виде

и тогда можно рассчитать число секций заданного объема, необхо­

димых для достижения степени превращения хл:

	N _ lg (1/1- хА) _ - lg_(l_-_x_A-'-)			(5.20)
	- lg (1 + kт) -	lg (1 + kт)	·

Если полученное при расчете по уравнению (5.20) N является

дробным числом, его округляют в большую сторону для того, что­

бы было пыполнено условие Сл.N s Сл.r.

Глава 5. Химические реакторы с идеалыюu структурой потока

115

Уравнение (5.20) справедливо, естественно, только для реак­

uии первого порядка.

Для реакuий, описываемых кинетическими уравнениями, не

позволяющими аналитически решить уравнение (5.18) относитель­ но cJ (например, реакuии дробного порядка), при расчете каскада

приходится прибегать к 'IИсленным методам. Так как уравнения материального баланса для всех реакuий однотипны, можно со­ ставить <mгоритм решения этих уравнений для i-й секuии и последо­

вательно применить его N раз.

Наглядным является графический способ расчета каскада ре­ акторов, использующий описанный выше графический метод оп­

ределения концентраuии реагентов на выходе из реактора идеаль­

ного смешения. Принuип расчета остается прежним. Сначала, графически решая уравнение для первой секuии

Wrл (слi)= с~,о- ~ Сдi•
'	т1	т1 '
находят конuентраuию ел 1	(рис. 5.12), построив		кинетическую
кривую w,д(ел) и прямую с 'тангенсом угла наклона			(-1 / 1';), пере­

еекающую ось абсuисс в точке сл.о· Определив ел_,, решают уравне­

ние для второй секции:

Для расчета концентраuии на выходе из N-го реактора графи­ ческое решение повторяют N раз.

Если требуется расс'tитать число секций N, необходимое для достижения заданной степени превращенин Хл, графическое по­

строение продолжают до тех пор, пока абсuисса точки пересече­ ния прямой

и кривой w,,R(cл) не будет удовлетворять условию Сл 1 :::: Сл_0(\ - Хл).

Рис. 5.12. Зависимости скорости реакuии от

концентраuии для расчета каскада реакто­

ров идеального смешения, состояшеrо из

ссюtий одинакового объема

116	Раздел первый. Химические процессы и реакторы

Wrл

15

Рис. 5.13. Зависимости скорости реак­

10

ции от концентра11ии для расчета числа

сек11ий каскада реакторов идеального

5

смешения

Пример 5.4. Реакцию, описанную в	примерах 5.1 и 5.2 (реак11ия вто­
рого порядка 2А ~ R + S, кинетическое	уравнение w,д = 2, 5cl , конечная
степень превращения Хл./ = 0,8, сл.о = 4	кмоль · м-3), проводят в каскаде

реакторов идеального смешения. Все секции каскада имеют одинаковый

объем, подобранный таким образом, что среднес время пребывания н каж­

дой ю них 't; равно 1/1 О среднего времени пребывания в единичном реакторе идеального смешения, рассчитанного н примере 5.1 ( 't; = 0,2 ч). Определить, сколько таких секций потребуется для достижения заданной

степени превращения.

Решение. Для решения используем графический метод. Для этого по­

строим графики функции w,д = 2, 5cl (парабола) и

Сло	1	4	1
у=-'---сл =---с				А
't;	't;	О, 2	О, 2
(прямая с тангенсом угла наклона		tga =-(1/'f;)=-5,0).

Точка пересечения этих линий М1 (рис. 5.13) позволяет определить концентрацию на выходе из первой секции каскада. Проводя параллель­

ные прямые

до тех пор, пока не будет выполнено условие Сл,; :<::; 0,8 кмоль · м-3 (так как

Сл.f= Сл,о (1 - Хл) = 4 (1 - 0,8) = 0,8 КI\ЮЛЬ · м-3 ), получаем, что для дости­ жения указанной степени прсвращсния необходимо четыре секции. Ока­ зывается, что на выходе из четвертой секции степень превращения даже

выше, чем задана по условию, но н трех секциях степень прснращения не

достигается).

Таким образом, суммарное среднее время пребывания реаген­

тов в каскаде реакторов идеального смешения для условий приме­

ра 5.3 составляет '"I,каск = 4т; =О, 8 ч, т. е. оно больше, чем в случае реактора идеального вытеснения ( Т8 =О, 4 ч; см. пример 5.2), и меньше, чем в единичном реакторе идеального смешения (те = 2 ч;

см. пример 5.1).

Глава 5. Химuцеские реакторы с uдеалыюu структурой потока

117

Вопросы и упражнения

для повторения и самостоятельной проработки

l.Сформулируйте доnушения модели идеального смешения.

2.Каковы основные nричины отклонения от идеальности в реаль­

ных реакторах смешения?

3.Почему nри составлении балансовых уравнений для реактора иде­

ального смешения в качестве элементарного объема может быть nринят nолный объем реактора?

4. Составьте уравнение материального баланса для nериодического

реактора идеального смешения.

5. Проанализируйте основные недостатки и достоинства реактора nериодического действия. В каких производствах •1аще встречаются такие

реакторы?

6. Составьте уравнение материального баланса для стационарного

nроточного реактора идеального смешения.

7.В чем заключается различие межлу действительным и средним временем nребывания реагентов в проточном реакторе? Для какого типа проточных реакторов действительное и среднее время пребывания совпа­

дают?

8.Оnределите объем проточного реактора идеального смешения, необ­ ходимый для достижения степени nревращения исходного реагента хд = 0,85

при nроведении реакции

2А __k'----7 R + S,

если сд.о = 2,5 кмоль/м\ k = 18 ,2 м1/(кмоль · ч), реагенты nодают в реактор с объемным расходом и= 1,2 м3jч.

9. Оnределите стеnени nревращения реагентов А и В на выходе из nроточного реактора идеальвого смешения объемом 0,5 м3 при проведе-

нии реакции

А+ В~ R + S,

если сл.о = l ,2 кмоль/м3 , с8.0 = l ,6 кмольjмЗ, объемный расход v = 5 м3jч,

константа скорости k= 12 м3/(кмоль· ч).

10. В проточном реакторе идеального смешения проводят реакцию

2А ~ R + S,

протекающую в гюовой фазе nри температуре 800 К и давлении 6 · 105 Па. В реактор подают смесь, объемная доли реагента А в которой составляет

70%, а объемная доля инертного комnонента - 30%. Определите среднее

время пребывания 'f, необходимое для достижения степени преврашс­

ния хд = 0,8, если константа скорости k = 414 ,7 м3/(кмоль · ч).

11. В проточном реакторе идеального смешения проводит обратимую

реакцию

Оnределите объем реактора, необходимый для достижения стеnени

превращения,	составляюшей			75% равновесной, если объемный расход
и = 0,01 м3/ч,	k, = 0,18 ч- 1 , k	1	=	0,24 ч-1 •

118Раздел первый. Хи.tшческuе процессы и реакторы

12.В проточном реакторе идеального смешения при температуре

330К проводят реакцию второго порндка

А+ В~ R + S.

В реактор подают реагенты с объемным расходом и= 2 м 1/ч и начальны­ ми концентраuиями сл.о = с8_0 = 1 кмоль/м3• Константа скорости реакции

задана в виде выражения

43000) . k = 7 · 107 ехр ( --к_г-

Определите объем реактора, необходимый для достижения степени пре­ врашения Хл = 0,8.

13. В каких случаях появляется необходимость численного (напри­ мер, графического) решения уравнения материального баланса проточ­

ного реактора идеального смешения для определения концентраuии реа­

гента на выходе из реактора? В чем суть такого решения?

14. Определите концентрацию реагента А на выходе из проточного

реактора Идеального смешения объемом 1,2 м3 , если для проведения ре­

акции

А~ R + S,

кинетика которой описывается уравнением w,л = 3сл1 •5 , подают реагент А с начальной концентрацией сл.о = 1,5 кмольjм3 и объемным расходом

и= 3 м3/ч.

15. Определите максимально возможную концентрацию промежуточ­ ного продукта R при проведении в изотермическом реакторе идеального

смешения последовательных реакций

A--k,_I~ R

R--k_.2_~ S,

если k1 = 0,14 ч-1 , k2 = 0,2 ч-1 , Сл,о = 0,7 кмоль/м3 •

16. Определите максимально возможную производительность по про­

межуточному продукту R при проведении в изотермическом реакторе Иде­ ального смешения последовательных реакций

A--'k'~-'R

R--k.._2~ S,

если k1 = 0,4ч-1 , k2 = 0,15 ч-1 , объемный расход и= 0,5 м3/ч, сл.о = 0,7 кмоль/м3 •

Какой объем реактора для этого потребуется? Какая селективность будет достигнута?

17.Сформулируйте допушения модели идеалыюга вытеснения. При

каких условиях можно приблизиться в реальном реакторе к идеальному

вытеснению?

18.Почему при ламинарном течении реакционного потока в проточ­

IЮМ реакторе режим идеального вытес!Jсния не может быть достигнут?

Глава 5. Химические реакторы с идеальной структурой потока

119

19.Составьте уравнение материального баланса реактора идеального

вытеснения в дифференциальной форме. Какие явления переноса (им­ пульса, теплоты, массы) отражены в этом уравнении?

20.Определите объем реактора идеал1,ного вытеснения для проведе-

ния реакции

2А-.;_:k __~ R + S,

если k = 5 м3/(кмоль · ч), сл.о = 2 кмоль/мЗ, объемный расход и= 12 м!jч, необходимая степень превращения Хл = О, 75.

21. Определите объем реактора идеального вытеснения для проведе­ ния обратимой реакции

kJ

ль==::Z) R k2

с целью достижения степени превращения, составляющей 70% равновес­ ной, если k1 = 0, 18 ч- 1 , k2 = 0,24 ч- •, объемный расход и= 1 м3/ч.

22. В реакторе идеального вытеснения проводят реакцию

А+ В ---7 R + S.

Определите nроизводительность по продукту R, если слл = cu.o = 2 кмольjмЗ, объем реактора V= 1,4 м3 , объемный расход и= 28 м3/ч, константа скорос­ ти k = 18 м3/(кмоль · ч).

23. Оnределите степень превращения на выходе из реактора идеаль­ ного вытеснения объемом l м3 при проведении реакции

kl

д~:::::± R, k2

если объемный расход и= 2 м3jч, константа скорости прямой реакции k 1 = 4,6 ч-•, константа равновесия К,. = 4.

24. В реакторе идеального вытеснения проводят реакцию

k

А+2В ~ R+2S,

кинетика которой описывается уравнением w,д = kc~·25 cg,7s. Оnределите

объем реактора для достижения стеnени превращения реагента Хл = 0,6,

если k =	1,О ч-·•, с9_0 = 0,8 кмольjмЗ, сл.о = 0,6 кмольjм\ объемный расход
и= 0,01	м3/ч.

25. Назовите основную причину, по которой для достижения той же

степени преврашения при одинаковых условиях проведения реакции в про­

точном реакторе идеального смешения требуется существенно большее

время пребывания реакционной смеси, чем в реакторе идеnльного вытес­ нения или в периодическом реакторе идеального смешения?

26.Проанализируйте достоинства и недостатки проточного реактора,

режим которого близок к идеальному смешению, по сравнению с реакто­ ром, режим в котором близок к идеальному вытеснению.

27.В nроточном реакторе идеального смешения при проведении

реакции nервого порядка А ---7 R достигнутn степень превращения реа­ гента А Хл = 0,8 при температуре, когщ1 константа скорости k = 0,2 ч- •.

120	Раздел первый. Химические процессы и реакторы

Во сколько раз меньший объем реактора идеального вытеснения потре­

буется для проведения этой же реакции при прочих равных условиях

(объемный расход и температура)?
28. В реакторе идеального вытеснения	при	проведении реакции
2А -7 R + S полу'tена степень преврашения	хл =	0,75 при условии, что

сл.о = 1,2 кмольjмЗ, среднее время пребывания в реакторе "t =О, 5 ч. Опре­

делите, какая степень преврашения будет достигнуга в реакторе идеаль­

ного смешения при тех же значениях сл,о и 'f.

29.Реакция А+ В -7 R описывается кинетическим уравнением вто­ рого порядка. При ее проведении в реакторе идеального вытеснения объе­

мом V достигается стеnень преврашения Хл = 0,9, если с8_0 : сл.о = 2. Каким

должно быть отношение начальных концентраций исходных реагентов, чтобы в реакторе идеального смешения равного объема V при равном объемном расходе реакционной смеси достигалась та же стеnень превра­ шения?

30.Сформулируйте основные допушения модели каскада реакторов

идеального смешения.

31. Докажите, что модель каскада реакторов идеального смешения

является промежуточной между моделями идеального вытеснения и иде­

ального смешения.

32. Определите степень преврашения реагента А при проведении ре-

акции

А+ В _..:.:..k~ R +S

в двух последовательно соединенных реакторах идеального смешения рав­

ного объема v; = V1 = 0,5 мЗ, если сл.о= Св.о= 2,2 кмольjм3 , объемный рас­

ход и= 3 м3/ч, k = 2,5 м3/(кмоль · ч).

33. Определите производительность по продукту R при nроведении

обратимой реакции

k,

Af=:===:± R

k2

в каскаде нз двух реакторов идеального смешения равного объема V1 = V1 =

=		0,3 м3 , если сл.о= 1,5 кмольjм3 , объемный расход V= 1 м3/Ч, k, = 0,32 ч- 1 ,
k	2	=О, 18 ч-1 •
		34. В каскаде из двух реакторов идеального смешения проводят реак­
цию первого nорядка А			k	R. Какой объем ( V1 = /~;)			должны иметь
секции каскада для достижения степени						преврашения	Хл = 0,75 ,	если
k = 2 ч-1 , объемный расход и= 2,5 м3jч?
		35. В каскаде реакторов идеального смешения равного объема ( V: =						1 м3)
проводит реакцию первого порядка А					k	R. Определите число сек­

ций каскада для достижения степени преврашения хл = 0,9 , если объем­ ный расход и = 1 м3/ч, k = 0,32 ч-1 •

36. Определите число секций каскада реакторов идеального смеше­ ния равного объема, необходимых для достижения степени преврашения Хл = 0,65, при проведении реакции

k,

2Af==:::=::! R + 2S ,

k1

Глава 5. Химические реакторы с идеальной структурой потока

121

если сл.о= 20 кмоль/м3 , k1 = 1 м3/(кмоль · ч), k2 = 0,8 м3/(кмоль · ч), среднее время nребывания в каждой секции 'f=О, 05 ч.

37. Оnределите число секций каскада реакторов идеального смеше­

ния равного объема	V; =	0,5 м\ необходимых для достижения стеnени
nреврашения хл = 0,65 nри проведении реакции
		А+ 2В ~ R + 2S,
кинетика которой	оnисывается уравнением w,д = kc~·5 c~·5 , если k =
= 2,5 м3/(кмоль · ч), с~.о =		1 кмоль/мЗ, Свл = 2 кмоль/мЗ, объемный расход
v = 10 м3jч .

38. В каскаде реакторов идеального смешения проводят реакцию

A+2B-.:.:...._~R+2S

до достижения 80%-ной стеnени nревращения реагента А. Оnределите

число секций и суммарный объем каскада реакторов для следующих ус­

ловий	осуществления nроцесса: сл.о = 1 кмольjмЗ,	Свл = 1 кмоль/мЗ,
k = 0,2	м3/(кмоль · ч), объем каждой секции V; = 1 мЗ,	объемный расход
v = 0,2	м3/ч.

Оnределите также объем единичного реактора идеального смешения

и объем реактора идеального вытеснения для тех же условий проведения

nроцесса.

39. Составьте математическую модель изотермического каскада реак­

торов идеального смешения, включающего в себя три секции, в которых

nротекают последовательные реакции nервого nорядка:

A ~ R

R~s.

40. Выведите формулу для расчета концентрации промежуточного nродукта R на выходе из 3-й секции изотермического каскада реакторов

идеального смешения (секции имеют одинаковый объем) nри nроведе­ нии в нем nоследовательных реакций nервого nорядка:

A~R

R ~ s.

41. Составьте алгоритм и схему рас•1ета на ЭВМ концентрации реа­

гента А на выходе из i-й секции каскада реакторов идеального смешения

(секции одинакового объема) nри nроведении в нем реакции второго nо­

рядка

2А ~ R + S .

42. Составьте алгоритм и схему расчета на ЭВМ числа секций каска­

да реакторов идеального смешения равного объема, необходимых для до­

стижения заданной конечной стеnени превращенин реагента В nри nро­

ведении в изотермических условиях обратимой реакции

А+ В Р R+ S.

122	Раздел первый. Химические процессы и реакторы

Глава 6

ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКТОРЫ

С НЕИДЕАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ ПОТОКОВ

При составлении математических моделей реакторов идеаль­

ного смешения и идеального вытеснения был сделан ряд допуще­ ний, облегчающих как построение моделей, так и расчеты на их

основе. Однако эти допущения не всегда близки к реальным усло­ виям. Рассмотрим сначала основные причины отклонений от иде­

альности, а затем способы построения математических моделей

реальных реакторов.

§6.1. Причины отклонений от идеальности

впроточных реакторах

Работу проточного непрерывнодействующего реактора можно

охарактеризовать так: в аппарат поступает реакционный поток

и каким-то способом персмещается от входного отверстия до выходного. Предполагается, что все элементы реакционного пото­

ка находятся в реакторе некоторое время, в течение которого мо­

жет протекать химическая реакция. В общем случае время пребы­

вания отдельных элементов потока в проточном аппаратеэто

непрерывная случайная величина, значение которой может ме­

няться ОТ 0 ДО оо.

Может оказаться, что какой-то элемент потока в реакции фак­

тически не участвует, так как в реакторе он попадает в так называ­

емую застойную зону (рис. 6.1 ). Здесь реакционная смесь задержи­

вается, и скорость химической реакции, если не равна нулю,

существенно отличается от скорости реакции в основном потоке.

Другой причиной, по которой часть реакционного потока мо­

жет не принимать участия в реакции, является наличие внутрен­

них байпасов (рис. 6.2). Особенно часто байпасы возникают при

недостаточно продуманном конструктивном решении в аппара­

тах, где реакционным пространством является поверхность зернис­

того катализатора.

Наилучшие результаты могли бы быть получены, если бы все

элементы реакционного потока находились в зоне реакции строго

одинаковое время. Это возможно в аппаратах идеального вытесне­

ния, характеризующихся плоским профилем линейных скоростей

потока. Однако в реальных реакторах, даже близких к идеальному

вытеснению, все-таки существует какое-то распределение элемен­

тов потока по времени пребывания в аппарате, возможно, вслед­

ствие частичного персмешивания в осевом направлении. Такое

Глава 6. Химические реакторы с неидеалыюй структурой потоков

123

Рис. 6.1. Схемы образования застойных зон в проточных реакторах

Рис. 6.2. Схемы образования внутренних байnасных линий

персмешивание может возникнуть, например, в результате моле­

кулярной диффузии: концентрации участников реакции в двух со­ седних точках по длине реактора вытеснения будут разными, а раз­

ность концентраций де является движущей силой диффузии.

Наличие продольной диффузии приведет к нарушению поршне­ вого течения потокапроизойдет размывание «поршня>>, если рассматривать некоторый элемент потока как поршень.

Наряду с молекулярной диффузией в реакторе вытеснения про­ исходит и турбулентная диффузия. Турбулентный поток отличает­ ся наличием направленных во все стороны хаотичных пульсаций скорости относительно се среднего значения. Пульсации в ради­

альном направлении приводят к выравниванию условий (концен­

траций, температуры) по поперечному сечению и, следовательно,

необходимы для выполнения допущений модели идеального вы­

теснения. Пульсации в продольном направлении, наоборот, при­ водят к тому, что одни элементы потока обгоняют основную мас­

су, другие отстают от нее, т. е. происходит осевое персмешивание

или продольная диффузия.

Диффузия в осевом направлении происходит не только при

турбулентном течении потока. Продольное персмешивание мо­ жет быть следствием неравномерности поля скоростей, например,

при ламинарном течении жидкости. В этом случае элементы по­

тока, движуwиеся в центре канала, имеют линейную скорость,

124	Раздел первый. Химические процессы и реакторы
IQ?1	Рис. 6.3. Схема размывания <<Поршневоrо>>
	потока при ламинарном течении (тейло­
	ровская диффузия):
	1 - первоначальное положение частиu в про­
1 2 3	извольном сечении в момент времени t,; 2, З­

в моменты времени соответственно t 2 и т3

Рис. 6.4. Зоны uиркуляuии в реакторе

вытеснения

превышающую скорость остальных элементов потока (иср = и"'"'/2).

Если в момент времени т1 пометить частицы, находящиеся в ка­

ком-то сечении, то в более поздние моменты т2, т3 и т. д. помечен­

ные частицы окажутся на поверхности параболоида. Те из них,

которые движутся по оси трубы, уйдут дальше всех. Те же, кото­

рые попали на самую периферию потока, не сдвинутся,- их ско­

рость равна нулю (рис. 6.3). И хотя характер движения элементов

потока в этом случае отнюдь не хаотический (в любой момент

времени можно предсказать положение выбранной частицы потока),

результат будет тот же, что и в случае молекулярной диффузии,­ размывание <<Поршня>>. Такой вид диффузии, вызванной неравно­

мерностью поля скоростей, называется тейлоровекай диффузией.

В проточном реакторе вытеснения наряду с застойными зона­

ми могут иметь место и зоны циркуляции (рис. 6.4), в которых реак­

ционная смесь задерживается намного дольше, чем в ядре потока.

Основная масса потока проходит через аппарат быстрее среднего времени пребывания т= Vjv = FL/v, так как идет не по полному

сечению аппарата.

Все перечисленные выше причины могут приводить к откло­

нениям от идеальной структуры потока, и тогда расчет реактора, выполненный на основе математической модели, построенной с уче­ том допущений об идеальности, окажется неверным.

В теории реакторов разработаны модели, позволяющие учесть неидеальность потока. Модели эти также основываются на неко­

торых допущениях и поэтому являются в определенной степени приближенными (как и любая модель вообще), однако они значи­ тельно более точно описывают реальный процесс, чем модели иде­

ального смешения и идеального вытеснения.

Рассмотрим сначала некоторые модели, позволяющие описать процесс в реакторе с неидеальной гидродинамической обстановкой,

Глава б. Химические реакторы с неuдеалыюй структурой потоков

125

азатем кратко проанализируем методы исследования структуры

потоков в хими•1сских реакторах, nозволяющие сделать вывод о nри­

менимости той или иной модели .

§6.2. Модели реакторов

снеидеальной структурой потоков

Математическая модель реактора с неидеальной структурой nотоков должна удовлетворять ряду требований. Во-nервых, она должна точнее, чем модели реакторов с идеальной структурой

nотока, лередавать закономерности протекающего химического

процесса, в частности, при моделировании проточных реакторов

расчет на основе такой модели должен nозволить nолучить рас­ nределение концентраций по объему, nриближающееся к реаль­

ному. Во-вторых, модель при большей сложности (по сравнению

с моделями идеальных реакторов) должна быть такой, чтобы при ее исnользовании можно было аналитическим или численными методами nолучить расчетные зависимости, необходимые для

определения размеров реактора или решения подобных задач.

Из проведеиного сравнения проточных реакторов идеального

смешения и идеального вытеснения (см. § 5.3) следует, что эти

типы реакторов оnисывают два предельных случая расnределен ия

концентраций реагентов по объему аnпарата (см. рис. 5.6). Поэто­

му к модели реактора с неидеальной структурой nотока можно nредъявить еще одно доnолнительное требование: при некоторых nредельных значениях коэффициентов, входящих в уравнение

модели, она должна оnисывать либо nроточный реактор идеаль­

ного смешения, либоидеального вытеснения.

При разработке тех или иных моделей следует иметь в виду,

что, как nравило, теория дает общий вид уравнений математиче­

ского оnисания, а числовые коэффициенты этих уравнений, зна­

чения которых отличают один частный случай от другого, должны быть найдены экспериментально. Эти коэффициенты называют

параметрами математической модели. Обычно стремятся к тому, чтобы число таких nараметров было минимальным. Большое чис­

ло параметров, с одной стороны, вроде бы делает модель точ ной

(физически), но, однако, при этом возникает опасность появле­ ния значительных ошибок, так как чем больше nараметров, тем более точный эксперимент нужно nоставить, чтобы достаточно

верно оценить их.

Математические модели неидеальных реакторов могут быть nостроены на основе двух nодходов. Первый основан на мыс­

ленной замене реального реактора той или иной комбинацией

126	Раздел первый. Химические процессы и реакторы

идеальных аппаратов. Второй подход имеет большее физическое

обоснование - при составлении математического описания про­

цесса стремятся учесть реальные физические явления, приводя­

шие к отклонениям от идеальности, и внести их в уравнения мо­

дели с помощью соответствующих математических операторов.

Очевидно, что при первом подходе математическая модель бу­ дет представлять собой систему уравнений, объединяюших мате­ матические описания нескольких идеальных реакторов. Число уравнений может быть велико, но по структуре они останутся та­ кими же простыми, как и уравнения идеальных моделей. При вто­

ром подходе число уравнений может быть меньше, но уравнения

более сложные, а следовательно, сложнее и методы их решения.

Наиболее распространенными являются две однопараметри­ ческие модели: ячеечная и диффузионная.

Ячеечная модель. В ячеечной модели использован первый под­

ход к описанию реальных реакторов, а именно: реальный аппарат

мысленно расчленяют на N последовательно соединенных ячеек

идеального смешения (рис. 6.5). Суммарный объем всех ячеек ра­

вен полному объему реактора.

Правомерность такой замены вытекает из сравнения каскада

реакторов идеального смешения с единичными реакторами иде­

ального смешения и идеального вытеснения.

Ячеечная модель по существу совпадает с моделью каскада ре­

акторов идеального смешения и представляет собой, как известно, систему из N уравнений материального баланса по компоненту J (при описании простой реакции), каждое из которых имеет вид

(6.1)

При N= 1 уравнение (6.1) описывает, естественно, единичный

реактор идеального смеш~ния

Т= V = с1,о - CJ,f

v w,1 (c1 ,f )'

При N -7 оо и бесконечно малых объемах секций V; суммарное время пребывания в каскаде из N реакторов можно рассматривать

как некоторый предел суммы

	N	N	-t..c .
-	"" -	""	J 1
'!L= L.,.; '!; = L.,.;			, '
	;~l	;~l	w,J (cJ,i)

Глава б. Химические реакторы с неидеалыюй структурой потоков

127

Рис. 6.5. Ячеечная модель

Рис. 6.6. Аппроксимация реалыюга	с1•0
распределения (7) ко11центрации
реагента по длине проточного ре-
актора с использонанием ячеечной
модели (2) при N= 6 и по длине ре-
акторов идеального вытеснения (3)	с1•4
и идеального смешения (4)

Очевидно, что предел можно рассматривать как интеграл:

N -!-.с .		сц	dc .	(6.2)
'fL= lim 2:,	J,, = -	f	J,, .
N->~ i=i w,J (cJ,i)		CJo	w,J (cJ)
Сравнивая уравнения (6.2)	и (5.2),	можно сделать вывод, что

при N ~ = ячеечная модель (модель каскада реакторов идеального

смешения) вырождается в модель проточного реактора идеального

вытеснения.

Таким образом, используя модель каскада реакторов идеаль­

ного смешения, можно описать предельные гидродинамические

режимы. Разумно предположить, что и промежуточный режим (а в любом реальном реакторе гидродинамическая обстановка от­

вечает именно промежуточному режиму) можно оnисать, исnоль­

зуя модель каскада реакторов идеального смешения, состояшего

из N ячеек, причем, с одной стороны, N 1:- 1, а с другой - N явля­

ется конечным числом. Как правило, применение ячеечной моде­

ли при N?:. 10 позволяет удовлетворительно описать реальный

реактор (рис. 6.6). Линии 3, 4 построены для сравнения с проточ­

ными реакторами с идеальной структурой потока.

Число ячеек N, заменяюших реальный реактор, и является единственным параметром 51чеечной модели. При известном N

расчет реактора на основе ячеечной модели по сути ничем не отли­

чается от расчета каскада проточных реакторов идеального смешения

и представляет собой последовательное решение уравнений матема­

тической модели каждой ячейки (секции) идеального смешения.

128	Раздел первый. Химические процессы и реакторы

Однопараметрическая диффузионная модель. Диффузионная

модель , как и ячеечная , описывает реальную гидродинамическую

обстановку в проточном реакторе как некоторый промежуточный случай между режимами идеального смешения и идеального вы­

теснения. При построении диффузионной модели в отличие от

модели идеального смешения учитывается неравномерность рас ­

пределения параметров процесса (в частности, концентрации) по объему аппарата. Но неравномерным является и распределение концентрации по мине реактора идеального вытеснения. В отли­

чие от модели идеального вытеснения в диффузионной модели

учитывается наличие персмешивания реакционной среды в осевом

направлении, вызванное различными видами диффузии. Послед­

нее условие и легло в основу названия модели - диффузионная .

В реальном реакторе неравномерное распределение концент­

раций и вызванный им диффузионный перенос имеют место как

в продольном (осевом), так и в радиальном направлениях. Однако учет и продольной, и радиальной диффузии чрезмерно усложнит уравнения диффузионной модели. Поэтому в первом приближе­

нии считают, что в радиальном направлении распределение кон­

центраций равномерное, и диффузия происходит только вдоль оси

реактора.

Перенос вещества вследствие турбулентной или тейлоровской

диффузии может быть описан уравнениями, аналогичными урав­ нению для молекулярной диффузии , но со своими коэффициен­

тами D,.."тЮ и Dтей.•· Экспериментально разделить различные виды

диффузии в реакторе невозможно. Поэтому целесообразно все их объединить одним уравнением с эффективным коэффициентом продольной диффузии D~., который нельзя предсказать заранее

теоретически из-за сложной природы этой величины.

Коэффициент продольной диффузии D~. и является единствен­

ным параметром однопараметрической диффузионной модели.

В случае учета радиальной диффузии введением соответствую­ щих операторов с коэффициентом радиальной диффузии DR реак­

тор будет описываться двухпараметрической диффузионной мо­

делью.

Можно получить уравнение однопараметрической лиффузии

модели , взяв за основу уравнение материального баланса мя эле­ ментарного объема проточного реактора (4. 7) и упростив его в со­

ответствии со следующими допущениями:

как и в молели идеального вытеснения, по сечению реактора,

перпендикулярному основному потоку, все условия выравнены , т. е.

концентрации и температура меняются только вдоль оси реактора;

в аппарате отсутствуют застойные зоны и байпасвые потоки.

J;uma 6. Химические реакторы с неuдеальной структурой nопюков

129

Как и для реактора идеального вытеснении (см. § 5.2), конвек­ тивный перснос вещества J будет происходить только в направле­

нии оси z. От оператора диффузионного переноса DV 2e1 также

останется только составляющая вдоль оси z. Следовательно, урав­ нение (4. 7) в применении к однопараметрической диффузионной

модели примет вид

	_ де1	D д2 е1 _	_ де1	'	(6.3)
	иz дz +	L дz2	WrJ - дт

где и, = vj F- линейная скорость потока в направлении оси ре­

актора.

Уравнение (6.3) описывает нестаuионарный пронесс в реаль­

ном реакторе с распределенными параметрами при наличии пере­

мешивания. Гидродинамическая обстановка в аппарате учитыва­

ется в этом уравнении двумя первыми •1лснами. Первый член

уравненив u~ (дc1jдz) характеризует конвективный перенос веше­ ства J с линейной скоростью и,. В результате nротекания химичес­

кой реакuии по длине апnарата устанавливается распределение

конuснтраuии данного вещества, описываемое в точке с координа­

	1		1	1	jдz2 )
той	z производной де	/дz. В'fорой член уравнения	D _ (д2	е

описывает осевое перемешивание, интенсивность которого оnре­

деляется коэффиниснтом r1родол ьной диффузии D1_ •

В nредельных случаях уравнение (6.3) может быть исrюльзова­

но дл я онисания реактора идеального вытеснения и апnарата иде-

<UIЬIIOгo смешения.

Действительно, если считать, что выполш1етс51 допущение о nол­

ном отсутствии осевого перемешивания , то

D	д2еJ	=О
L	дz2	'

и уравнение (6.3) nринимает такой же вид, как уравнение (5.9) для

реактора идеального вытеснения:

дс1		де1
-и -- w		= -
z дz	rl	дт

Если же принять допущения о nолном выравнивании конuент­

раllИИ по объему и дискретном скачкообразном изменении кон­ uентраuии реагента ~с1 на входе в проточный реактор, в уравне­

нии (6.3) можно будет пренебречь диффузионным оператором

DL (д2с1jдz2 ) (отсутствует причина для возникновения диффузи­

ондых пот6ков внутри аnпарата), а производную де1/дz в nервом

•1лене уравнения заменить на отношение коне•1ных разностей, как

:.по было сделано для проточного реактора идеального смешения

130 Раздел первый. Химические процессы и реакторы

(см.§ 5.1 ). Тогда уравнение (6.3) будет совпадать с уравнением (5.5)

для проточного реактора идеального смешения, т. е. можно сделать

вывод, что сформулированное выше требование о необходимости

предельного перехода неидеальных моделей в модели идеального

вытеснения или смешения выполняется и для однопарам етричес­

кой диффузионной модели.

Степень приближения реальной гидродинамической обстанов­

ки к одному из идеальных режимов зав исит от степени взаимного

влияния конвективной и диффузионной составляющих в уравне­

нии материального баланса (6.3). Используя методы теории подо­

бия, можно из дифференциального уравнения (6.3) получить кри­

терий подобия, являющийсямерой относительной эффективности

двух физических процессов: конвективного переноса в направле­ нии оси реактора и продольного диффузионного nеремешивания,

где u- линейная скорость; z- линейный размер (удобнее его

обозначить через L).

Полученный критерий называют диффузионным критерием Пекле

uL	(6.4)
Ре=-.

DL

При больших значениях Ре интенсивность конвективного пе­ реноса существенно выше интенсивности продольного диффузи­ онного перемешивания. Это имеет место в длинном канале (боль­ шие значения L) при высокой линейной скорости или низких значениях коэффициента продольной диффузии DL. При Ре ~ оо

реактор вырождается в аnпарат идеального вытеснения.

При малых числовых значениях Ре (короткий канал, невысо­ кие линейные скорости или большие значения DL) относительная

интенсивность nродольного персмешивания превышает интенсив ­

ность продольного конвективного переноса. При Ре ~ О реактор

вырождается в апnарат идеального смешения: бесконечно быстрая

диффузия приводит к полному и мгновенному выравниванию кон­

центраций.

Расчеты на основе диффузионной модели существенно слож­ нее, чем расчеты на основе ячеечной модели. Аналитическое ре­

шение уравнения диффузионной модели возможно лишь для ста­

ционарного реактора при проведении в нем реакции первого

порядка, скорость которой является линейной функцией концент­

рации w,л = kсл.

Глава 6. Хш-.ruческuе реакторы с неuдеалыюй структурой потоков

131

Рис. 6.7. Профиль изменения кон­

центрации реагента в проточном

реакторе

о~------------~1--~

Уравнение диффузионной модели (6.3) примет вид

	dсл		D	d2сл k	-О	(6.5)
-иz	dz	+	L	dz2. -	Сл - .

Его удобно представить в безразмерном виде, введя новую не­

ременную /= z/L, где L - длина реактора. Тогда z = IL, dz = L dl. С учетом соотношения Ljи = Vjv = 'fи выражения (6.4) уравне­

ние (6.5) можно представить в следующем виде:

_1_ d2сл - dсл - k'fc		=О.	(6.6)
Ре d/ 2	d/	л

Для нахождения решения дифференциального уравнения вто­ рого порядка (6.6) необходимо задать два граничных условия. Ана­ лиз граничных условий для диффузионной модели был сделан Данквертсом, и их часто называют граничными условиями Данквертса.

Выбор граничных условий диктуется физической картиной процесса. При z =О (/=О) происходит дискретное уменьшение

концентрации реагента А (рис. 6. 7) как следствие имеющего место

диффузионного персмешивания 1• При конечном значении коэф­

фициента DL для сечения z =О+ О (/=О+ 0), в котором еще не

происходит химическая реакция, можно составить уравнение ма­

териального баланса

или с учетом безразмерных координат

(6.7)

1 Сравните с дискретным скачкообразным изменением концентрации на входе

в проточный реактор идеального смешения.

132	Раздел первый. Хи.нические процессы и реакторы

Это уравнение, позволяющее рассчитать ел при z =О, и нвляет­

ся первым граничным условием.

При z = L (/ = 1) можно было бы составить аналогичное урав­ нение. Но это привело бы к тому, что при конечном значении Dr и отрицательном значении производной dcл/dz ( по мере увеличе­

нии z концентрация ел уменьшается из-за протекающей хнмиче­

ской реакции) концентрация Сл.t в выходном лотоке была бы выше концентрации в реакторе. Это противоречило бы ф11зическому

смыслу, поэтому целесообразно в качестве второго граничного ус­

ловия в соответствии с физической прирадой явления (см. рис. 6.7)

принять

(ddzсл)z~L-0 _ 0

или

(d;t J~1-o= О.	(6.8)

Для реакции первого порядка решение дифференциального

уравнения (6.6) при граничных условинх (6.7) и (6.8) дает следую-

щий результат:

сл,L =	1	_ Хл	4аехр(Ре/2)	. (	6	. )
Сл,о			'~1 (1 +а)2 ехр(аРе/2)-(1-а2 )ехр(-аРе/2)			9

В формуле (6.9)

a=.JI+4kt/Pe.

Решение уравнения диффузионной модели для реакций с дру­ гими кинетическими закономерностями более сложно. Поэтому, несмотря на то, что диффузионная модель позволяет в большей степени приблизиться к реальной физической картине, во многих

случаях моделирования реакторов предпочитают пользоваться яче­

ечной моделью как значительно более простой для вычислений 1•

Вопросы и упражнения

для повторения и самостоятельной нроработки

1. Как изме11ИТСЯ достигаемая в реакторе глубина nреврашения в том случае, если имеются застойные зоны: а) в реакторе, режим работы которо­ го близок к идеальному смешению; б) в реакторе, режим работы которого

близок к идеальному вытеснению?

1 Результаты расчета Ila основе диффузионной моде.1и зависят от пранилыюстн вы­

бора граничных условий дифференuналыюrо уравнения. Для ячеечной модели 'Jадача

расчета сводится, по существу, к решению снетемы конечно-разностных уравнений.