Глава 7. Распреdеление вре.ме11u пребыва//UЯ в проточ11ых реакторах

133

2.Как изменится глубина превращсния реагентов, если в реакторе,

режим работы которого близок к идеальному вытеснению, появится цир­

куляционные зоны?

3.Объясните причину появления продольного персмешивания в труб­

чатом реакторе, по которому реакционный поток движстсн в ламинарном

режиме.

4. Какая величина называется параметром модели реактора с неиде­ альной структурой потока') Проанализируйте достоинства и недостатки

однопараметрических моделей по сравнению с многопараметри•rесюrми. 5. Проточный реактор, в котором протекает химическан реакция

второго порядка, можно описать нчее•rной моделью с параметром N = 5.

Состешьте математи•rеское описание такого реактора, работающего в изо­

тсрмическо~1 режиме.

6.Что такое продольная диффузия? Как она учитывается в рамках одноrшрамстричсской диффузионной модели?

7.Какие допущения делают при состанлении математического описа­ ния однопараметрической диффузионной модели реактора вытеснения?

8.Составьте уравнение двухпараметрической диффузионной моде­ ли проточного реактора, параметрами которой явлнются коэффициент продольной диффузии D1. и коэффициент радиальной диффузии DR.

9.Почему для решения уравнения диффузионной модели его обыч­ но сначала приводят к безрюмсрному виду?

10.Сформулируйте и проанализируйте граничные условия длн реше­

ния уравнения однопараметрической диффузионной модели.

Глава 7

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ В ПРОТОЧНЫХ РЕАКТОРАХ

Важной характеристикой структуры потока в проточных реак­ торах является функция распределения времени пребывания. Зная

ее, можно оценить степень отклонения реального реактора от иде­

альных моделей, определить параметры моделей реакторов с неиде­

альной структурой потока, в частности ячеечной и диффузион­

ной, а также решить ряд других практических задач.

§ 7.1. Функции распределения времени пребывания

Как указывалось выше, для проточного реактора время пребы­

вания в анпарате отдельных элементов потока являетсн в общем

случае непрерывной случайной величиной, т. е. имеет статисти­ ческую природу. Непрерывная случайная величина может быть задана с помошью функций распределения случайной величины. Различают интегральную функцию распределения F(т:) и диффе­ ренниальную функцию, или плотность распределения /(т:).

134	Раздел первый. Хи.мицескuе процессы и реакторы

Интегральная функция распределения времени пребывания F(-r)- это объемная доля потока, выходящего из реактора, которая находи­

лась в реакторе в течение времени, меньшего чем -r.

В терминах теории вероятности F(т,)- это вероятность того,

что время пребывания потока, вошедшего при т0 = О, не превысит

некоторого значения т;:

F(т) = Р(т:::; т;).

Свойства этой функции:

при т2 > т 1

и

F(O) =О; F(=) ~ l.

Еслит-непрерывная случайная величина, то F(т)- непре­

рывная функция, и тогда dF(т)- это объемная nоля выхоnного

потока, время пребывания которой в аппарате находится между

значениями т и т + dт.

Произвоnная dF(т)/dт =/(т) называется дифференциальной функцией распределения, или плотностью распреnеления случайной величины.

Дифференциальная функция распреnеления в данной задаче

определена при т~ О и характеризуется следующими свойствами:

f(т) ~О,

~
Jf(т)dт = 1.	(7.1)

о

Величинаf(т)dт имеет такой же физический смысл, что и dF(t). Например, если 't;- какое-то конкретное значение времени

пребывания в интервале от 't no 't + d't, то

j('t;)d't = [dF('t;)] = Р ('t:::; т;::; т+ d't).

(7.2)

Вероятность того, что время пребывания фиксированной nоли

потока в реакторе находится в конечном интервале от 't1 до т2,

Вероятность того, что время пребывания фиксированной nоли

потока в реакторе больше любого заданного значения т:

~ ~ 't

ff('t)d 't = fj('t)d 't- fj('t)d т= 1- F(т).

оо

Глава 7. Распределение времени пребыватшя в проточных реаюпорах

135

Среднее время пребывания фиксированной доли потока в ре­ акторе - это математическое ожидание непрерывной случайной величины, имеющей данную функцию распределения:

(7.3)

§ 7.2. Экспериментальное изучение функций распределения

Экспериментально функция распределения времени пребыва­ ния может быть найдена исследованием так называемых кривых

отклика. Суть этого метода состоит в следующем. На входе в реак­

тор создается некоторое возмущение. Таким возмущением явля­

ется введение в основной поток вещества (индикатора), отли­

чающеrося по какому-либо свойству (окраске, электрической

проводимости, оптической плотности, кислотности, радиоактив­ ности и т. д.) от веществ основного потока. Индикатором должно быть вещество, которое не изменяется и не поглощается в ходе

эксперимента (например, при химической реакции, адсорбции или осаждении). Кроме того, желательно, чтобы точное измерение его концентрации не вызывало затруднений.

Возмущение на входе (входной сигнал) может быть ступенча­ тым (до момента времени т0 индикатор не вводили в поток, а с момента т0 его вводят с постоянным расходом), импульсным (мгно­

венное введение порции индикатора) или периодическим (напри­

мер, иметь синусоидальный характер). Для получения кривой от­ клика на входной сигнал (выходного сигнала) измеряют в разные

моменты времени концентрацию или количество индикатора в по­

токе, выходящем из реактора.

Для определения интегральной функции распределения создают входной сигнал ступенчатой (скачкообразной) формы (рис. 7.1 ).

Измеряя в этом случае концентрацию индикатора с" на выходе

а.sж_	б.sж_
Си,О	Си,О
1	1

Рис. 7.1. Входной сигнал

ступенчатой (екач кааб­

разной) формы (а) и сиг­

нал отклика на него (б)

136	Раздел первый. Химические процессы u реакторы
а си	б с
	и
	Рис. 7.2. Входной сигнал
	импульс110Й формы (а) и
	сигнал отклика на него (б)

в момент времени t 1, и отнеся ее к начальной концентрации с11,0,

определяют какая доля потока находилась в проточном аппарате

в течение времени, меньшего 't1• Такая относительная концентра­

ция (безразмерная случайная величина)

си('t) =C('t)

Си,О

изменяется от О до 1 и соответствует интегральной функции рас­ пределения F("t). Функция С(•) обладает теми же свойствами, что

и функция F('t).

Важно отметить, что время пребывания в реакторе индикатора

такое же, как и частиц основного потока, помеченных индикато­

ром. Так как величина С(•) безразмерная, она одна и та же и дли

индикатора, и для помеченного этим индикатором потока.

Дифференциальная функция распределения f (t) соответствует

кривой отклика на сигнал импульсной формы (рис. 7.2). Пока­ жем, что это действительно так.

Пусть в момент времени 'о на входе в проточный реактор им­

пульсно введен индикатор в количестве пи,о· В некоторый мо­

мент времени 't1 концентрация индикатора на выходе из аппарата

составит с"(•,), а произведение vc11 ('t,), где v - объемный расход,

будет равно расходу индикатора в выходном потоке. Если рассмот­ реть два момента времени 'iи 't1 + d"t, отличающиеся между собой на бесконечно малую величину d"t, то произведение vc11 ('t,) d"t пока­

жет, какое количество индикатора покинет реактор за промежуток

времени от 't1 до •,+ d"t1• Разделив это количество на n11 _0 , получим

долю от первоначального количества индикатора, находящегося

	в реакторе в течение времени 't1 до 't1 + dt; C11		('t,)v d"t/nи 0 • По опреде­
	лению такая доля равна dF(•) или Л•) d"t		[см. уравнение (7.2)].
	Следовательно,
	C 11 ('t)v = j("t) =	dF("t).	(7.4)
	nи,О	d"t

Если v = const, а n11 _0 ростоянна по своему смыслу при импульс­

ном введении индикатора, функция C11 ('t) совпадает с функцией/(•)

!~шва 7. Распрсдслеtте вреАtснu пребывания в проточных реакторах

137

с точностью до постоянного коэффициента. Это позволяет экспе­

риментально получить дифференциальную функцию распределе­

ния, измеряя во времени концентрацию индикатора.

Как и для интегральной функции рас11ределения, 110 измене­

I111Ю концентрации индикатора с11(т) можно судить о времени пре­

бьшания в реакторе частиц потока, помеченных этим индикатором.

Рассмотрим теперь, как выглядят функции распределения для реакторов с идеальной гидродинамической обстановкой (реакто­

ры идеального смешения и идеального вытеснения) и для реакто­

ров, описываемых ячеечной и диффузионной моделями.

§ 7.3. Функции распределения времени пребывания

идеальных и неидеальных проточных реакторов

Реактор идеального смешения. Выведем уравнение, позволяю­

шее рассчитать интегральную функцию распределения F(т) для

стационарного реактора идеального смешения, а затем дифферен­ цированием этой функции получим дифференциальную функцию распределения f( т).

В соответствии с допущениями об идеальности любой бес­

конечно малый элемент потока, вошедший в реактор идеального

смешения, может сразу после ввода появиться с вероятностью

/(т0 +~т) в любой точке реактора или в потоке, выходящем из ре­

актора. Следовательно, вероятность выхода такого элемента из

реактора не зависит от его пути или его истории (длительности

пребывания в реакторе). Поэтому вероятность того, что он оста­

нется в аппарате дольше, чем в течение времени т+ ~т. равна про­

изведению вероятностей двух взаимно независимых событий:

1) время пребывания в реакторе больше чем т; 2) время пребыва­

ния в реакторе больше чем ~т.

Вероятность первого события равна l - F(т), веронтность вто­ рого 1 - F(~т). Тогда

1- F(т +~т)= [1- F(т)][1- F(~т)]

или

1- F(т +~т)= 1- F(т)- F(~т) + F(т)F(~т).

Так как

~F(т) = F(т +~т)- F(т),

то
t>.F(r:) + F(r:)F(M) = F(t>.r:).	(7.5)

По определению, F(~т)- это объемная доля потока, находя­ шаяся в реакторе в течение времени, меньшего чем ~т. За время ~т

138	Раздел первый. XuJttuчecкue процессы и реакторы

из реактора выйдет реакционная смесь объемом v~т. Вероятность

выхода из аппарата одинакова для всех элементов объема реактора

идеального смешения. Поэтому

F (~т) = v~т = ~т

v or'

где 'f= V jv - среднее время пребывания в реакторе.

Подставляя (F М) в уравнение (7.5) при ~т, стремящемсяк бес­

конечно малому приращению dт, ~F(т) ~ dF(т) получим диффе­

ренциальное уравнение

dF(т) + _!_ F('t) = .!..			(7.6)
dт	'f	'f
Найдем его частное решение при насrальном условии
	F(O) =О.		(7.7)

Уравнение (7.6)- дифференциальное уравнение первого по­ рядка с разделяющимися переменными. Представим его в следую­

щем виде:

	dF (т) = _!_ dт.	(7.8)
	1- F(т) 'f
	После интегрирования получаем
	-ln [1 - F(т)] = ~ + ln М.	(7.9)
	't

После несложных преобразований уравнение (7.9) примет вид

l- F(т) = -1-е-т/-т или F(т) = 1--1-e-тl"f.

мм

Всоответствии с начальным условием (7.7) постоянная интег­ рирования равна единице (М= 1). Окончательно имеем

(7.10)

Плотность распределения времени пребыванияf(т) может быть

получена дифференцированием уравнения (7 .10):

f(т) = dF(т) =Ье-т/<.		(7.11)
dт	т

Функции F(т) и /(т) приведсны на рис. 7.3.

Реактор идеального вытеснения. При плоском профиле линей­

ных скоростей все частицы должны находиться в реакторе строго одинаковое время, равное среднему времени пребывания 'f= V jv.

Глава 7. Распределение времени пребывания в пропючных реакторах

139

	aF	бf
	1	1
		t

о L.__-::'::::c-----

.-

о '----

:'('::----

.-

Рис. 7.3. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распределе­ ния нремени nребывания в nроточном реакторе идеального смешения

aF	бf
1

0'-----	=----
	1:

Рис. 7.4. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции расnреде­ ления нремени nребывания в nроточном реакторе идеального вытеснения

Следовательно, для всех т< 't функция F(т) =О и для всех т~ 'f

функция F(т) = 1.

Таким образом, интегральная функция распределения F(т) для

реактора идеального вытесненияэто разрывная функция, имею­

шая только два значения: О и 1 (рис. 7.4, а).

Для получения дифференциальной функции распределения

нужно продифференцировать F(т). Производная в точке разрыва (скачка) функции является особой функцией, называемой дельта­

функцией Дирака о(т- '!)1 (рис. 7.4, б). Итак,

/(т)= dF(т) = о(т-'!).

dт

о-функция обладает особыми свойствами. Функция о(т-'!)

равна нулю при всех значениях т< 't и т> 'f.При т= 't функция

о(т- 'f)= о(О) = =.

1 Б-функция Дирака относится к классу обобшенных функций, изучаемых в сnе­

циальных p<t:3Jleлax м;пем<tтики.

140	Раэдел первый. Хu.мuческие процессы и реакторы

Рис. 7.5. Фу11кция, nриближаюwаяся

JIO С130ЙСТ13<1М К О-фуНКЦИИ

F~)г-----	~~~----	~
0,75		Рис. 7.6. Интегральные функuии рас­
0,50		пределения времени пребывания для
		ячеечной модели nри различных зна­
		'IСниях N:
		1 - N = 1; 2 -	N = 5; J - N = 20; 4 - N = =
	2,0	8=-c/'t
Кроме того, функция о(т- 'f) должна удовлетворять условию
		+~
		f о(т - 'f)d т = 1.	(7.12)

Так как отрицательные значения т не имеют физического смысла, то нижний предел интегрирования в уравнении (7.12) сле­ дует заменить на т= О. Тогда уравнение

JО(т- 'f)dт = 1

о

совпадает с одним из свойств дифференциальной функции рас­

пределения [см. уравнение (7.1)].

Конечно, о-функция является определенной идеализацией,

как, впрочем, идеализш1ией 5IВЛяется и режим полного вытесне­

ния, для описания которого она может быть применена. Можно

представить график функции, похожей на о(т- 'f) (рис. 7.5). Чем

более узкой будет полоска между левой и правой ветвями, тем

выше должна быть эта полоска, чтобы ее площадь (т. е. интегр<ш) сохраняла заданнос значение, равное 1. Такой вид, в частности,

будет иметь дифференциальная функция распределения времени пребывания для реального трубчатого реактора, гидродинамиче­ ский режим в котором приближается к идеальному вытеснению.

Глава 7. Распределение врел1енu пребывания в проточных реактора.\"

141

Ячеечная модель (каскад реакторов идеального смешения). Оп­

ределить вид функций распределения для каскада реакторов иде­ ального смешения можно, воспользовавшись аналогией между

функциями распределсиня и кривыми отклика 1•

Функция F(т:) соответствует зависимости С(т:) = С11(т:)/си.IР по­

лучаемой как выходной сигнал на ступенчатый ввод индикатора. Предположим, что в поток, входящий н первый реактор каскада, начиная с момента времени т:0, вводится индикатор с постоянной концентрацией си.о· Условия в реакционной системе после ввода индикатора будут нестационарными. Для описания системы мож­ но составить уравнение материального баланса по индикатору с

учетом того, что он не расходуется на химическую реакцию. Для

N-й секции каскада количество индикатора, входяшего в эту сек­

цию за время dт:, определяется как vси. N- 1 dт = d( VNcи) = ~vdC11, так

как ~v = const.

Уравнение материального баланса будет иметь вид
v(си. N -i - C11_N)dт = VNdcи.	(7.13)

Если объемы всех секций каскада одинаковы, среднее время

пребывания в каскаде из N секций

"f= NVN/v,

а соответственно для N-й секции

"fN="f/N=VN/v. (7.14)

Сучетом формулы (7.14) уравнение (7.13) можно представить

ввиде

dси	N		_ N
-- + --=- Си			N -	--=- Си		N -1 •
dт	т	'		т	'

Решая это уравнение сначала для первой секции каскада при

начальном условии С11 =О, если т = О, а затем для каждой после­

дующей секции, можно получить зависимость си(т), а следователь­ но, и вид интегрмьной функции распределения как ряд

F(т)=c;~~~~)=l-e-N8 ll+N8+~!(N8)2 +... +(N~l)!(N8)N-'} (7.15)

r·де е = т/У .

На рис. 7.6 приведсны интегральные функции распределения

для каскада реакторов идеального смешения из N одинаковых

' Используя лот подход можно получить и вид функции распредслевия для cди­

IIII'JHoroреактора идеалыюга смешения.

142 Раздел первый. Хu;нические процессы и реакторы

Ш=1	1,5
	4
	.f(O)

1.

1,0

2. g=2

з.)llяlяlяfяl[/:=6

4.--с=5=00

0 5

'

о IL-~-::---:-'-:-----:-'-:---'

1,О 1,5 6=1:/'t

Рис. 7.7. Дифференциальные функции расnределения времени nребыва­

ния для ячеечной модели при различных значениях N:

1 - N= 1; 2 - N= 2; 3 - N=6; 4- N~oo

секций (ячеечной модели проточного реактора с параметром N) для различных значений N.

Дифференцированием функции F('t)можно получить диффе­

ренциальную функцию распределения (рис. 7. 7)

NN

/(1) =	eN-t exp(-N8).	(7.16)
	(N -1)!

При рассмотрении ячеечной модели было указано, что про­

точные реакторы идеального смешения и идеального вытеснения

могут быть описаны этой моделью. Действительно, при N = 1 (на­

помним, что О!= 1) уравнение (7.16) переходит в уравнение (7.11) для реактора идеального смешения, а при N ~ = lim f('f)= o('t-'f)

совпадает с функцией распределения реактора идеального вытес­

нения.

Таким образом, если экспериментально найдена кривая откли­

ка для реактора с реальным гидродинамическим режимом, то, со­

поставив ее с расчетными кривыми для ячеечной модели, можно

определить параметр модели N.

Следует иметь в виду, что при использовании ячеечной модели

для расчетов реальных химических реакторов необходимо, чтобы

определение параметра N по кривой отклика проводилось в аппа­

рате, подобном по гидродинамическим условиям рассчитываемо­

му реактору.

Диффузионная модель. Вывод функций распределения времени пребывания для реакторов, описываемых однопараметрической

диффузионной моделью, как и в случае ячеечной модели, также

Глава 7. Распределение вpeJ•1eNu пребывания в проточных реакторах

143

основан на расчете концентрации индикатора на выходе из реак­

тора. Для этого необходимо решить дифференциальное уравнение

диффузионной модели в нестаuионарном режиме без учета хими- ческой реакции:

(7.17)

Введя безразмерную концентрацию с= сиlси.О> безразмерное время е = 't1'fи безразмерную координату 1= z1L, и с учетом того, что 'f= V1v = L 1и, представим уравнение (7.17) в безразмерном виде

!!_ де = _ !!_ де + D ~

L де		L дl	L L2 д/2
или	де	де	1 д2с
				(7 .18)
	- = -- + --
	де	дl	Ре д/2 ·
Окончательное решение уравнения (7.18) будет иметь вид
с== си,L	==(Ре)1/2 ехр[-Ре(1- е)2]·			(7.19)
Си,О	1te		4 е

На рис. 7.8 приведены дифференциальные функции распреде­

ления /('t)для диффузионной модели при различных значениях

критерия Пекле. Из сравнения рис. 7.7 и 7.8 видно, что функция распределения для ячеечной модели при N = l совпадает с кривой

распределения для диффузионной модели при Ре~ О, а при боль­

ших N- с кривыми, для которых Ре» 1. Этот результат вполне естественен, так как и диффузионная и ячеечная модели являются

/(6)

1,5

Рис. 7.8. Дифференциальные

функции распределения времени

пребывания для диффузионной

модели при различных значе­

ниях параметра Ре= uL/DL:

/-Pe=O.l: 2-Pe=l; 3-Pe=IO;

4-Ре=17,8; 5-Ре --'f=

144 Раздел первый. Химические процессы и реакторы

лишь разными приближениями одного и того же реального про­

цесса.

Если uLj DL = Ре> 1О, выполняется приближенное равенство

1	L
N ""-Ре-
2	d'

где L - длина; d- диаметр реактора.

Таким образом, между функциями распределения ячеечной и однопараметрической диффузионной моделей имеется опреде­

ленное соответствие.

§ 7.4. Применеине функций распределения времени пребывания при расчете химических реакторов

Области использования функций распределения времени пре­

бывания при расчете химических реакторов достаточно обширны.

Если известен аналитический вид функции распределения, напри­ мер функuииf('r), то для расчета среднего времени пребывания 'f

в проточном реакторе можно, как указывалось выше, использо­

вать уравнение (7.3), где вместо/('t) под знаком интеграла будет сто­ ять функциональная зависимость, полученная при решении диф­

ференциального уравнения химической кинетики для реакции

с известным механизмом (принимают, что каждая частица потока

находится внутри некоторого элементарного объема, который мож­ но условно рассматривать как периодический реактор идеального смешения, время проведения химической реакции в котором равно т).

Однако аналитический вид функции распределения не всегда

известен. Чаше всего в результате экспериментов на модели, гид­

родинамически подобной реальному реактору, получают кривую

отклика си(т). Ее, с одной стороны, можно сопоставить с теорети­

ческими кривыми для ячеечной и диффузионной моделей, опре­ делить параметр модели N и тогда использовать функции распре­

деления типа функций, выраженных уравнениями (7.15), (7.16), (7.19). С другой стороны, можно использовать найденные диск­

ретные значения функции распределения для различных момен­

тов времени и заменить вычисление математического ожидания

по интегралу оценкой среднего значения с помощью интеграль­

ной суммы (7.3). Например, если известны дискретные значения

дифференциальной функции распределения /(т) в различные мо­

'•.1енты времени т;, то среднее значение концентрации реагента на

выходе из проточного неиде<шьного реактора

Сл = JслЛт)dт = L Сл(т)/(т;)6.т,

(7.20)

о

.

Глава 7. Расnрf!деление времени пребыватт в проточных peai{/1/0fiOX

145

где ел.- текущая концентрация, определ яемая н услониях перио­ ди ч еского реа ктора идеального смешения.

Рассмотрим такой путь исполJ,зования криnых отклика для рас­

'lета реакторов на конкретных примсрах.

Пример 7.1. Для исследовании структуры нотока в п~юто•tном реакто­ ре, в который nодают реакционныН поток с объемным расходом u, нрове­ дсн опыт с имnульсным вводом индикатора (трассера). При иэмерении

коннентрании индикатора на выходе из реактора нолучены следующие

результат ы:

Время от 11~1-

пульсного вво­

да и нди като -

ра, с .... ....... ....... 0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
Кон центра цня
индикатора с., .
уел. ел.... ........... 0	О	0,5	2,4	5,6	8.5	10,4	9,6	6,7	З.R	2,0	0,6	О
Зти же данные nриведсны на рис. 7.9.
P<~cc'II!Taтt, ·Jна•tенин д11фференциальной функции расnрсдсленшr												вре­
~tсни пребывания.
С11, уел. сд.
12
10
8
6
4
2							~
							1
							1
							1
							1
о	20				80		100	120		't,C

Рис. 7.9. Сигнал отклика на имnулr,сныi1 ввод индикатора в nрото•tныН

реактор

146	Раздел первый. Хилtuческие процессы и реакторы

Реиюше. Значения дифференциальной функции распределения/(т,)

по кривой отклика на импульсный ввод индикатора могут быть рассчита­ ны по уравнению (7.4):

Чтобы определить значение п" 0 , можно, предварительно выбрав не­

большой интервал L'!т, рассчитать к'оличество индикатора, выходящего из

реактора в различные моменты времени.

и :затем провести их суммирование:

пи,о = L С11(Т;)vL'! т,

учитывая в сумме те значения т,, для которых с"(т;) отлично от нуля (строго

п.,,о можно определить как интеграл 5си (т)v d т). Тогда

о

Выберем в качестве L'!т интервал времени, приведенный в исходных

экспериментальных данных, т. с. L'!т = 10 с. Тогда полу•rим

"

(

Т;

)

=

50

,

О

;

'"

(

Т;

)

=

500 и

/(

....,,

) = си(т;)_

L.,Си

'--'ТL.,Си

500

Ниже приведсны :значения дифференциальной функции распределения.

Ti, С ...........................	о	10	20	30	40	50	60
/(т,), c-J ...................	о	о	0,0010	0,0048	0,0112	0,0170 0,0208
							Продолжение
'tl, с ............................		70	80	90	100	110	120
/(т), С1 ....................	0,0192		0,0132	0,0076	0,0040	0,0012	о

Как видно, найденная функция распределения удовлетворяет усло­

вию нормировки полной вероятности на единицу (7.1):

~

5/(т) dт "'2: /(т;)L'>т = L'>тl: /(т;)= 1.

о

j

i

Пример 7.2. В проточном реакторе, гидродинамическая обстановка

вкотором характеризуется дифференциальной функцией распределения, найденной в примере 7.1, проводят жидкофазную реакцию второго порядка

2А--) R + S, описываемую киш.:·тическим уравнением и',л=0, 0082 Сл м3/(кмоль ·с).

Начальная концентрация реагента А сл.о = 2 кмольjм3 • Реагенты подают

вреактор с тем же объемным расходом v, что и в опыте с индикатором.

!:-шва 7. Распределение времепи пребываiщя в проточпых реакторах

147

Определить достигаемую в аппарате стеnень превращения вещества А.

Решшше. Определим среднее значение концентрации Сл на выходе из

реактора, используя уравнение (7.20):

Для расчета no этому урюзне1111Ю нужно знать вид зависимости сл(т;),

которая может быть получена из уравнения материального баланса пери­

одического реактора идеальпого смешен и я

_dсд =kc~.

dт

Получаем

1/сд - ljcд,o = kт,

откуда

Итак,

В результате расчета no дшшым, nриведенным в табл. 7.1, nолучаем

ёд = 1,004 кмоль/м3 , тогда стеnень nрсвраtцения хд = (2,0 -1,004)/ 2,0 =

= 0,498.

Таблица 7.1. Данные мя расчета степени иревращения вещества А

'tp с	/(t.), с ·'	Сл(t;) = Сл.о/0 + kt,cл.o)	Cл(t,)/(t,)6t
о	0,0000	2,000	0,000
10	0,0000	1,718	0,000
20	0,0010	1,506	0,015
30	0,004S	1,340	0,064
40	0,0112	1,208	О, 135
50	0,0170	1,099	О, 187
60	0,0208	1,008	0.210
70	0.0192	0,931	0,179
so	0,0132	0,865	О, 114
90	0,0076	0,808	0,061
100	0.0040	0,758	0,030
110	0,0012	0,713	0.009
120	0,0000	0,674	0,000

148	Раздел первый. Химические процессы и реакторы

Применение функций распределения времени пребывания при рас­

чете реакторов с сеrрегированными потоками. В несегрегированном

состоянии (рис. 7.10. б) жидкостh представляет собой свободные

индивидуальные молекулы, движушиеся в различные стороны, ст<UJ­

кивающиеся и оtешиваюшиесн со всеми лругими молскулами лан­

ной жидкости (такое состояние называют .микросостоянием).

В сегрегированном состоянии жилкость состоит из глобул, каж­

дую из которых можно рассматривать как своеобразный IIериоди­

ческий микрореактор (это состояние называют ktакросостояпием жидкости).

Состояние реакционной Сltстемы, когда она состоит из огром­ НОП) колнчества глобул, кажлая из которых солержит очень боль­

шое число молекул, нюывают сегрегироваюtылt (рис. 7.10, а). Внеш­

няя оболочка глобулы позволяет сохранить ее индивидуалhностh.

Сегре1·ированным является поток твердого зернистого материш1а,

где каждое зерно можно рассматривать как отдельную глобулу. Реюiьнснi жидкость чаше всею является частично сегрегированной.

Рассмотрим некоторые особенности расчета реакторов с сегре­

гирошшным потоком.

Реакторы с сегрегированным потоком жидкости. Если в сегреги­

рованном потоке каждую глобулу рассматриватh как самостонель­ ный микрореактор периодического действия, резут,т~пы процесса

вреакторе в uелом будут определяться усреднением результатов

вкаждОI\1 микрореакторс.

Для изотерr-.IИ'Iеского реактора глубина хими•1еского превраще­ ния в каждой глобуле определяется временем пребывания в аriПа­ рате, и если это время длн различных глобул различно, то и глуби­ на прохождения химического 11pouecca в них разная. Резулы-аты расчета хими•1еского IIpouecca в одной глобуле не отличаются от

результатов рас•1ета процесса в реакторе в целом, если время пре­

быванин всех глобул в аппарате одинаково. Это условие выполнн­ ется прежде всего для любого реактора периодического действия,

а также для реактора идештьного вытеснения.

а

Рис. 7.10. Поток жидкости, нротекающей чсрс'3 реактор, в сегрегирован­

ном и несс1·реп1рованном состояютх

Глава 7. Распределение вре,ие!ш пребывания в пJюmочных peah.mopax

149

Для остал1,ных проточных реакторов nремя пребывания в ап­ пар<пе может меюпься в широких пределах. Оно задается функ­ цией распределсннн F(т) или /(т). Пусть из нроточного реактора за единицу времени выходит N глобул , причем время пребыванин

каждой глобулы в аппарате в об1нем случае различно (кроме аппа­

ратов идеального вытеснения). Доля глобул, находнвшихся в реак­

торе в течение времени от т, до т,+ ~т, составляет f(т,)~т. Глубина

преврашения реагента в глобуле за время т, определяется кинети­

кой химической реакции. Доля реагента, не вступившего в ре­ акцию за это время, сл(т,)/сл.о = 1- х,\(т,). Суммируя доли непро­

реагировавшсго реагента для каждой группы глобул с разным «возрастом>> пребывания в реакторе с учетом их статистического

веса , получим среднюю долю непревращенного реагента на выходе

из реактора (при этом следует иметь в виду, что теоретически

время пребывания может меннтьсн от О до=):

(7.21)

где Хл и ел - соответственно средняя степень прсвращения и сред­

няя концентрация реагента в потоке, выходящем из реактора.

Уравнение (7.21) нвляетсн общим. Для частных случаев в него

необходимо подставить конкретный вид дифференциальной функ­ uии распределенияf(т), определяемый гидродинамической обста­

новкой в аппарате, и конкретный вид зависимости [1- хл(т)] или Сл(т), определнемой уравнениями химической кинетики для дан­

ной реакционной системы.

Например, для проточного реактора идеального смешения

функция
-	1 - t/1	.
!(т) --е

!

Если в реакторе протекает химическая реакция первого порядка, скорость котороii определяетснуравнением w,л = dc,jdт = kc"' в ре­

акторе периодического действии полу<rим

сд(т) - kt

--=е .

Сд,О

Тогда

(7 .22)

150			Раздел первый. Хu.мuческuе процессы u реакторы
~микр
"макр
1,0	1	:/
0,8
		/
0,6				Рис. 7.11. Характеристики реактора иде­
		/2
0,4	v			алыюго	смешения при прохождении
				через 11их жидкостей в микро- и мак­
	v
0,2				росостояниях для химических реакций
				первого (1) и второго (2) порядков
	1
0,1
0,01	0,05 0,1	0,5	1-хл
Значение интеграла в уравнении (7.22)
			1-хл	Сл	l
				= -- = -- .
				Сл,о	1+ k'f

Для реакции первого порядка полученный результат не отли­

чается от результата расчета проточного реактора идеального сме­

шения без учета сегрегации. Действительно, в этом случае

'f = (сл,о- Сл)/ kсл и Сл / Сл,о = l /(1 + k'f).

Однако это справедливо лишь для реакции первого порядка. Так, уже для реакции второго порядка результаты расчета реакто­

ра с сегрегированным потоком и реактора с потоком жидкости,

находящейся в состоянии микросмешения, различаются. Приве­ дем (без вывода) конечный результат расчета для сегрегированно­

го потока в этом случае:

1-.Хл	= Сл	= exp[l/(k'fcл,o)] Ei[~),
где Ei[1/(k'tcл,o)J	сл,о	kтсл,о	kтсл,о
	неэлементарная функция, называемая интег­

ральной показательной функцией, значения которой табулирова­ ны (приводятся в таблицах интегралов).

На рис. 7.ll сравниваются рассмотренные характеристики про­

точных реакторов идеального смешения.

Вопросы и упражнения

для повторения и самостоятельной проработки

1. Сформулируйте основные свойства интеграль!IОЙ и дифференци­ альной функций распределения времени пребывания реагентов в проточ­

ном реакторе.