Билет №13.

1. Метод наименьших квадратов (МНК) Основные идеи МНК; вывод соотношений для однофакторного случая.

Линия регрессии удовл-ет мин суммы квадратов откл-ний данных э-та.

Ф-я ,определ-щая сумму квадратов. Необх условием макс или мин(экстр) многоаргументной ф-ции явл-ся =-во 0 всех ее 1ых частных произв-ных.Условие экстр-ма:

Обычно Ур-ние регрессии счит-ся возможным для испол-я интерполяции.но не экстраполяции

2. Градиентный способ поиска оптимального сочетания факторов.

Более эффективный стратегией поиска явл-ся одновременное изм-е всех аргументов. При чем эти факторы д изм-ся непроизвольно, а т о чтобы улучш-е оптимизируемой ф –ции происходило бы наиб быстро(по градиенту)

- индекс точки, от к-ой идем.изм-ем прибл-но частным производным.

Рассчитав част произв-е легко опр-ть с какими одновременными приращ-ями след-етизм-ть каждый фактор, чтобы происходило приращение в напр-нии крутого восхождения.

Будем двигаться из исх точки(центр плана э-та)х10=12 х20=16. Выберем коэф С.Окажемся в т-ке на некот-ое удаление от исх.Зафикс-ем знач-е отклика в этой т-ке. Если улучш-е, продолжаем дв-е с тем же шагом, пока в очеред т-ке не обнаружим ухудш-е. После этого произв-ся новый активный э-т с центром плана в той т-ке, к-ая была наил на предыд стадии, затем стадии повт-ся.

Дост-ва:1одновр-ное изм-е всех аргументов2.одновр изм-е арг-тов с приращ-ми, пропорц-ми част.произв приводит к наикратчайшему изм-нию оптимизируемой ф-ции.

Недостаток:1отсутствие прав для выбора С на каждом шаге поиска,м привести к слишкому мал(возр-ет кол-во шагов,увел-е трудоемких расчетов:будет происходить частая смена напр-я градиент-ого поиска) или бол(опасность проскочить экстр зону, т е не обнар-ть) шагу.2 невозм-но исп-ть в чистом видедля поиска(когда цел ф-я не задана аналит-ки) 3 вблизи т-ки экстр-ма резко снижается эффект-сть поиска, происходит кол-ние точек отн-но экстр-ма.

Отдельно рассм.подчеркнутый сомнож-ль.

Матр ков-дисп откликов,где

Матрица имеет искл-но простой вид.в больш-ве случаев все опыты,предусм-ные э-том,равноточные, т е ген.дисперсия откликов есть вел-на пост, т е

-ген дисперсия воспроизвод-сти отклика(вообще).в бол-ве случаев ошибки любых 2х опытов не зависят др от др cov( y1 y2)=0

Вывод: видно,что матрица диспер-ков коэф-тов регрессии с точностью до пост-ого множителя совпадает с матрицей

Поэтому суть оптима-ого план-я э-та сост в стремлении мин-ть Эл-ты матрицы Для т,чтобы реально оценить Эл-ты матрицы дисп-ков коэф-тов регрессии, треб-ся знать вел-ну ген дисперсии

По опытным данным вместо ген дисп подст-ют зн-я выбор.дисперсии отклика, к-ую легко рассч-ть по рез-там паралл-ых опытов.Рассч. выбор.дисперсии воспр-сти для каждого из 5 опытов.

На 1ый взгляд, получ-ые рез-ты противоречат утв-ю о равноточности опытов.Необх проверить статист.гипотезу о случайности различия м/у 5ю дисперсиями(выб) воспр-сти с помощью Gкритерия.Кохран. По табл(α-принятый Ур-нь знач-сти, при числе степеней свободы N, числа дублир-я каждого опыта) и проверка неравенства:

Если вып-ся, то гипотеза сч-ся доказанной.Э-т считаем равноточным.

При разр-ке нового сплава для Маш-ения был реализован ДФЭ 2 по рез-там 8опытов.Рассч коэф-ты регрессии.проверка адекв-сти показала высокую адекв-сть, что удалось обесп-ть оч малыми приращениями факторов. Т о эти коэф регрессии ок-лись оч близки к знач-ям частн производных хар-ет исх точку, тк центр плана э-та,произв-но выбрав подходящую вел-ну множителя С, рассч-ем такие приращения 7 факторов,к-ые обеспечили выход за пределы иссл области. Т о определены корд 1ой точки на линии КВ, реализовав опыт, получили заметное улучш-е отклика, поэтому реализовали след шаг в том же напр-нии. Увеличили шаг в 2С. Рассч-ем коор новой точки.Обнар-ли улучш-е отклика, изменили небольшой шаг из этой точки.Также эффективен, след – ухудшение.принято решение считать оптимальным рез-т предыдущего и прекратить дальнейший поиск.