Атомная (прикладная) физика

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

•Для частного случая падения волны перпендикулярно цепочке атомов ( 0= /2) условие

a(cos − cos 0 ) = n

примет вид:	n
cos =
	a

•Соответствующие изображения:

9

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• Следующий шаг: расположим рассеивающие волну атомы в виде двумерной структуры – квадратной решетки в плоскости xy . →

• Ее можно рассматривать как одномерную цепочку атомов вдоль оси x, которая повторяется вдоль оси y .

• Теперь направление падения волны определяется двумя углами: 0 и 0 . →

• Условий конструктивной интерференции вторичных волн также два: одно из них соответствует конструктивному сложению вкладов атомов одной цепочки, а другое – конструктивному сложению вкладов разных цепочек.

a(cos − cos 0 ) = nxa(cos − cos 0 ) = ny

10

vk.com/club152685050a(cos −| vkcos.com/id446425943) = n

0 x

a(cos − cos 0 ) = ny

•Для заданных условий (набора параметров a, , 0 и 0) для каждой

заданной пары чисел (nx , ny) эта система уравнений однозначно задает решение для углов ( , ).

•Этой паре соответствуют два направления дифракции, зеркально симметричные относительно плоскости xy.

• Например, для тривиального случая nx=ny=0 получим = 0 и = 0 .

•Этому соответствуют направление первичного луча и направление луча, зеркально отраженного от плоскости xy.

11

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• Вновь рассмотрим изображение на фотопластинке. Ориентируем ее параллельно плоскости рассеивающей решетки.

• Каждому из уравнений системы будет соответствовать набор гипербол.

• Оси гипербол взаимно перпендикулярны – как и рассеивающие цепочки атомов, ориентированные вдоль осей x и y.

• Гиперболы двух наборов будут нумероваться индексами nx и ny соответственно.

• Одновременному выполнению уравнений системы будет соответствовать точки пересечения гипербол, каждой из которых соответствует пара индексов (nx,ny).

• Именно в этих точках и сформируются дифракционные максимумы – области почернения.

a(cos − cos 0 ) = nxa(cos − cos 0 ) = ny

12

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• Для частного случая нормального падения волны на двумерную решетку

0= 0= /2

соответствуют решения

a cos = nx a cos = ny

•Картина расположения интерференционных максимумов показана на рисунке. →

•Она одинакова для плоскостей Q1 и Q2 , параллельных решетке и расположенных симметрично – дифракционных картин «на просвет» и «на отражение». →

a(cos − cos 0 ) = nxa(cos − cos 0 ) = ny

13

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• Перейдем к трехмерной кубической решетке. Геометрия задачи – на рисунке. →

• Очевидно, что теперь для конструктивной интерференции всех вторичных волн (а иначе она будет деструктивной) потребуется выполнение уже трех условий:

a(cos − cos 0 ) = nxa(cos − cos 0 ) = nya(cos − cos 0 ) = nz

•Система из трех уравнений относительно трех переменных ( , , ),

задающих направления дифрагированных лучей с индексами (nx, ny, nz) для набора условий (a, , 0 , 0, 0).

14

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

a(cos − cos 0 ) = nxa(cos − cos 0 ) = ny

a(cos − cos 0 ) = nz

•Однако, значения , , и (как и значения 0 , 0, 0) не независимы, а связаны дополнительным «геометрическим» условием:

cos2 + cos2 + cos2 =1

•Система четырех уравнений относительно трех переменных в большинстве случаев оказывается несовместной. Ее можно сделать совместной лишь определенным выбором параметров – например, угла падения или длины волны.

•Можно показать, что условия совместности для дифрагированных лучей с разными наборами индексов (nx, ny, nz) различны и имеют вид:

		(n	, n	, n ) = 2a	nx cos 0	+ ny cos 0			+ nz cos 0
						n2	+ n2	+ n2
0	0 0	x	y	z
						x	y		z

•То есть, при фиксированной длине волны излучения такие лучи не могут наблюдаться одновременно.

15

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

a(cos − cos 0 ) = nxa(cos − cos 0 ) = ny

a(cos − cos 0 ) = nz

•Для частного случая нормального падения первичного пучка на грань xy, то

есть, при 0= 0= /2		и 0=0 указанная система уравнений примет вид:
a cos = nx
a cos = ny
	= nz
a(cos −1)

•Условие ее совместности преобразуется к виду:

				(n , n	, n	) = 2a		nz
				x y	z		nx2	+ ny2	+ nz2
2	,	2	,0

•Оно задает длину волны, при которой возможно наблюдение дифракционного максимума с требуемым набором индексов.

16

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• Можно проиллюстрировать эту ситуацию следующим рисунком: →

• Два семейства гипербол – такие же, как в двумерном случае. Они представляют решения первых двух уравнений, взятых по отдельности. Или линии, где формируются дифракционные максимумы для линейных цепочек атомов, расположенных вдоль осей x и y, перпендикулярных первичному лучу.

• Окружности соответствуют решению третьего уравнения и дифракции цепочек атомов, ориентированных вдоль оси z, параллельной первичному лучу.

a cos = nx

a cos = ny

a(cos −1) = nz

•Положение дифракционных максимумов – в точках пересечения кривых из трех семейств. В представленном случае (для данного ) такие точки отсутствуют.

17

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• Для наблюдения дифракционных максимумов требуется подбор длины волны либо угла падения первичного пучка. Либо, как в опыте Лауэ, использование первичного пучка с широким спектром – с непрерывным набором длин волн.

• Еще одно наблюдение:

при появлении дифракционных максимумов им очевидно будет присуща «четверная»

симметрия, отражающая симметрию рассмотренной кубической решетки.

•При другой симметрии решетки изменится и симметрия дифракционной картины.

•Вид лауэграммы позволяет восстановить структуру кристаллической решетки (но не ее постоянную a).

•Это делает рентгеновскую дифракцию одним из основных инструментов кристаллографии.

18