Атомная (прикладная) физика

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• В равновесии излучаемая энергия равна поглощаемой:

E = A I

или

E	= I		=	c
		v
Av				4

•Если представить себе «абсолютно черное тело», полностью поглощающее излучение любых частот (A =1), его лучеиспускательная способность:

== ce I

v	4
• Но ведь спектральная яркость излучения I			(как и ) во всех случаях

одинакова! Отсюда:

• Закон Кирхгофа (1859 г.):

E ( ,T ) =e ( ,T ) A( ,T )

12

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

E ( ,T ) =e ( , T ) A( , T )

•Тела наиболее сильно излучает те же частоты, которые они наиболее сильно поглощают.

•Это верно для любых условий, а не только равновесных -- поскольку (как было установлено ранее) излучение тела определяется его собственными свойствами и температурой, но не окружением.

•Прозрачные и зеркально отражающие тела излучают слабо.

•Наибольшей испускательной способностью обладает «абсолютно черное тело».

•Спектральная функция его лучеиспускательной способности e ( , T) совпадает (с точностью до постоянной) со спектральной плотностью равновесного излучения ( , T) .

•Экспериментальное определение и теоретический расчет этих универсальных функций представляет фундаментальный интерес.

13

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Но:

•Ни одно реальное тело не является «абсолютно черным».

•В качестве его практической модели Кирхгоф предложил использовать полость с малым входным отверстием, стенки которой покрыты поглощающим материалом и равномерно нагреты.

•Это определило направление дальнейших исследований.

14

vk3.com/club152685050.2. Тепловое излучение| vk.com/id446425943: закон Стефана-Больцмана, законы Вина

Итак, с фундаментальной точки зрения представляет интерес вид спектральной зависимости плотности равновесного теплового излучения, который может быть получен из спектральной зависимости испускательной способности «абсолютно черного тела» e ( , T) .

Экспериментальные данные (чужие и собственные) для реальных тел в 1879 г. обобщил Й. Стефан.

Он предположил, что полная (не спектральная) испускательная способность любых тел растет пропорционально четвертой степени абсолютной

температуры.

Joseph Stefan

E ~ T 4 или I ~ T 4 (для поверхностной яркости)	(1835-1893)
Это оказалось верным для абсолютно черного
тела. (И приближенно верным для реальных тел.)

1

vk• .com/club152685050В 1884 г. Больцман| vk.com/id446425943представил строгое теоретическое доказательство справедливости такой зависимости для абсолютно черного тела.

•Доказательство основывалось на термодинамическом рассмотрении давления электромагнитного излучения (по Максвеллу, оно пропорционально плотности энергии).

Закон Стефана-Больцмана:

(Доказать это утверждение проще на основании установленного позднее «закона Вина в общей форме» – что мы и сделаем)

«Современное» значение постоянной СтефанаБольцмана:

Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906) →

2

vkУниверсальность.com/club152685050 |функцииvk.com/id446425943спектральной плотности равновесного теплового излучения означает, что она является функцией всего двух переменных:

( , T) = F ( , T)

•В 1893-1894 г. В. Вин показал (термодинамика+ +электромагнитная теория) , что эта эту функцию можно представить в виде:

( , T) = 3 f ( /T) ,

Это утверждение и есть «закон смещения Вина в общей форме».

Wilhelm Wien

(1864-1928)

•Конкретный вид функции f ( /T) из термодинамических соображений не мог быть определен.

•На первый взгляд, уточнение Вина не кажется существенным. Но это не так.

•Полученная формула означает, что нет отдельной зависимости плотности излучения от частоты и от температуры – а только от определенной их комбинации.

3

( , T) = 3 f ( /T)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

•В частности, закон Вина позволяет вычислить спектральное распределение равновесного теплового излучения для любой температуры T, если оно известно хотя бы для одной температуры T1.

•Это можно сделать следующим образом.

•Для температур T и T1 определим частоты и 1 , соотносящиеся как:

1 или = T (*)1=

T

T

T1

1

3

3

1

T 3

3

1

T 3

• Тогда

( ,T ) =

f

=

f

=

f

=

(

,T )

3

1

3

T

1

1

T1

T1

T1

T1

•Таким образом, частотная функция спектральной плотности равновесного теплового излучения для любой температуры (T) может быть получена из

известной функции для некоторой температуры (T1) простым умножением на численный коэффициент ( T3/T13 ) и растяжением/сжатием оси частот (в соответствии со (*)).

•Следовательно (из (*)), если спектральное распределение имеет максимум на

некоторой частоте, при изменении температуры этот максимум должен смещаться ~T. 4

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• Следовательно (из (*)), если спектральное распределение имеет максимум на

некоторой частоте, при изменении температуры этот максимум должен смещаться ~T.

•Вин доказал это утверждение для несколько другого (принятого в то время) распределения спектральной плотности – по длинам волн, а не по частотам.

dv =		d ;		c	;		d		=	c	d
			=
										2

•Для такого спектрального распределения закон Вина запишется в виде:

d = d = 3

d =

c4

c

d

c4

c

f

f

, т.е.

=

f

(*)

5

5

T

T

T

• Условие максимума спектрального распределения:

d

= 0

d

•Применяя его к (*), получим (вынесен «-», перегруппированы сомножители):

c4

c

c

5c4

c

f

f

= 0

− 6

−

6

T

T

T

• Проведя сокращения и обозначив аргумент функции

c

= ,

T

получим уравнение:

f ( ) + 5 f ( ) = 0

5

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943	c	= , получим уравнение:
• Обозначив аргумент функции
	T

f ( ) + 5 f ( ) = 0

•Вид функции f по-прежнему неизвестен, поэтому решить его мы не можем.

•Но пусть у него есть корень, соответствующий максимуму (а не минимуму)

спектральной плотности		. Обозначим этот корень как =с/b (таким

образом ввели постоянную b).

•Для длины волны max , соответствующей максимуму , получаем:

	c			c		или
	max T = b
		maxT=b				– «закон смещения Вина в частной форме».
		(именно это соотношение обычно называют законом Вина)

•Универсальная постоянная b – «постоянная Вина».

Ее значение (полученное из эксперимента):

b= 0.002898 м К

6

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• Нетрудно показать, что закон Стефана-Больцмана можно вывести из закона смещения Вина (в общей форме).

• Вернемся к «частотной» спектральной плотности . Плотность энергии равновесного теплового излучения можно получить интегрированием этой величины. С учетом закона смещения Вина получим:

					f d
u =		d =		3
	0		0		T
• Введем переменную = /T . Теперь:
							u = T 4 3 f ( )d
							0

•Результат вычисления интеграла есть некоторое число -- неизвестное, пока

неизвестен вид функции f . Обозначим его через . Получим:

u = T 4

•Учитывая связь плотности равновесного излучения и лучеиспускательной способности абсолютно черного тела, приходим к закону Стефана-Больцмана:

e = 4c u = 4c T 4 = T 4

7