9. Нелинейные модели оптимизации.

40. Нелинейное программирование — случай математического программирования, в котором целевой функцией или ограничением является нелинейная функция.

К задачам нелинейного программирования относятся задачи, в которых хотя бы одно из уравнений из системы ограничений целевой функции является нелинейным. Это раздел математического программирования, изучающий методы решения таких экстремальных задач, в которых результаты (эффективность) возрастают или убывают не пропорционально изменению масштабов использования ресурсов из-за деления издержек производства на предприятиях на переменные и условно-постоянные, из-за насыщения спроса на товары, когда каждую следующую единицу продать труднее, чем предыдущую, из-за влияния внешней экономики, внешних издержек и т. д.

Нелинейные задачи сложны, часто их упрощают тем, что приводят к линейным. Для этого условно принимают, что на том или ином участке целевая функция возрастает или убывает пропорционально изменению независимых переменных.

Такой подход называется методом кусочно-линейных приближений, он применим, однако, лишь к некоторым видам нелинейных задач. Нелинейные задачи в определенных условиях решаются с помощью функции Лагранжа (множители Лагранжа): найдя ее седловую точку, тем самым находят и решение задачи (это определяется так называемыми условиями Куна—Таккера).

Универсального метода для нелинейных задач нет, и, по-видимому, может не быть, поскольку они чрезвычайно разнообразны. Особенно трудно решаются многоэкстремальные задачи. Для некоторых типов задач выпуклого программирования (вид нелинейного) разработаны эффективные численные методы.

41. Основные понятия Нелинейные модели оптимизации.

Задачами нелинейного программирования - называются задачи математического программирования, в которых нелинейны или целевая функция, или ограничения в виде неравенств или равенств.

Задачи нелинейного программирования можно классифицировать в соответствии с видом функции F(x), функциями ограничений и размерностью вектора х (вектора решений).

В самом общем виде классификация представлена в таблице.

Вид F(x)	Вид функции ограничений	Число переменных	Название задачи
Нелинейная	Отсутствуют	1	Безусловная однопараметрическая оптимизация
Нелинейная	Отсутствуют	Более 1	Безусловная многопараметрическая оптимизация
Нелинейная или линейная	Нелинейные или линейные	Более 1	Условная нелинейная оптимизация

Общих способов решения, аналогичных симплекс-методу линейного программирования, для нелинейного программирования не существует.  В каждом конкретном случае способ выбирается в зависимости от вида функции F(x).  Задачи нелинейного программирования на практике возникают довольно часто, когда, например, затраты растут не пропорционально количеству закупленных или произведённых товаров.

Многие задачи нелинейного программирования могут быть приближены к задачам линейного программирования, и найдено близкое к оптимальному решению.

Встречаются задачи квадратичного программирования, когда функция есть F(x) полином 2-ой степени относительно переменных, а ограничения линейны.

В ряде случаев может быть применён метод штрафных функций, сводящей задачу поиска экстремума при наличии ограничений к аналогичной задаче при отсутствии ограничений, которая обычно решается проще.

В целом задачи нелинейного программирования относятся к трудным вычислительным задачам. При их решении часто приходится прибегать к приближенным методам оптимизации.

Мощным средством для решения задач нелинейного программирования являются численные методы. Они позволяют найти решение задачи с заданной степенью точности.

Общая формулировка нелинейных задач:

Ψ ( х₁ , х₂ , …, х_n ) = b_i , i = 1, 2, …, m

Z = f ( х₁ , х₂ , …, х_n )

Найти переменные х₁ , х₂ , …, х_n , удовлетворяющие системе уравнений:

и обращающие в максимум ( минимум ) целевую функцию.