7. Применение межотраслевой балансовой модели.

К числу важнейших аналитических возможностей данного метода относится определение прямых и полных затрат труда на единицу продукции и разработка на этой основе балансовых продуктово-трудовых моделей, исходной моделью при этом служит отчетный межпродуктовый баланс в натуральном выражении.

В этом балансе по строкам представлено распределение каждого отдельного продукта на производство других продуктов и конечное потребление.

Сопоставляя потребительский эффект различных взаимозаменяемых продуктов с полными трудовыми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной эффективности их производства.

С помощью показателей полной трудоемкости более полно и точно, чем при использовании существующих стоимостных показателей, выявляется структура затрат на выпуск различных видов продукции и прежде всего соотношение между затратами живого и овеществленного труда.

На основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости могут быть разработаны межотраслевые и меж продуктовые балансы затрат труда и использования трудовых ресурсов.

Схематически эти балансы строятся по общему типу матричных моделей, однако все показатели в них (межотраслевые связи, конечный продукт, условно чистая продукция и др.) выражены в трудовых измерителях.

На основе модели определяется эффективное распределение государственных производственных инвестиций. Внедрив динамическую модель МОБ, руководство страны получает возможность корректировать в режиме реального времени цели развития в зависимости от уточненных производственных возможностей резидентов и динамики спроса конечных потребителей.

8. Построение балансовых моделей в системе Mathcad.

Системы линейных алгебраических уравнений применяются в макроэкономике для проведения балансового анализа многоотраслевого хозяйства.

Цель балансового анализа — ответить на вопрос, каким должен быть объем производства каждой из отраслей хозяйства, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? Предполагается, что каждая отрасль выступает одновременно как производитель некоторого вида продукции и как потребитель продукции других (в том числе своей) 153 отраслей.

Процесс производства рассматривается за некоторый период времени, например, за год.

Предположим, что производственная сфера хозяйства состоит из n отраслей. Каждая из этих отраслей производит однородный продукт. Часть продукции идет на производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для потребления вне сферы материального производства. Далее примем следующие обозначения:

x_i — общий объем продукции i – й отрасли (или её валовой объем), i=1,2,…,n;

x_ij— объем продукции i – й отрасли, потребляемый j – й отраслью в процессе производства, i,j=1,2,…,n;

y_i — объем продукции i – й отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере (объём

к онечного потребления). В этот объём входят личное потребление граждан, создаваемые хозяйственные запасы, экспорт, инвестиции, обеспечение общественных потребностей. Уравнения баланса выражают тот факт, что валовой выпуск x_i расходуется на производственное потребление, равное х_i1 + х_i2 + ... + х_in и непроизводственное потребление, равное y_i.

Таким образом, имеем: (1.1)

В зависимости от того, в каких единицах измерения записываются соотношения баланса, различают натуральный или стоимостной межотраслевые балансы.

Рассмотрим величины (1.2), которые называют коэффициентами прямых затрат.

Д ело в том, что эти величины остаются постоянными в течение ряда лет, поскольку технологии производства также остаются постоянными или мало меняются за указанный промежуток времени. На это важное обстоятельство было указано В/ Леонтьевым при исследовании развития американской экономики в предвоенный период.

С огласно предположению (1.2) уравнения (1.1) принимают вид .

Записывая (1.3) в матричной форме получаем: x = Ax + y, где

Обозначая символом E - единичную матрицу, получаем (E − A)x = y. (1.5)

Если существует обратная матрица (E − A) ⁻¹, то из (1.5) следует равенство x= (E−A)^−1*y. (1.6)

Решение системы (1.4) требует применения численных методов. Из экономического смысла задачи вытекает, что все компоненты матрицы A и вектора y являются неотрицательными (A ≥ 0, y ≥ 0). Все компоненты вектора x также должны быть неотрицательны (x ≥ 0).

Матрица A называется продуктивной, если для любого вектора y ≥ 0 существует решение x ≥ 0 уравнения (1.4). При этом модель Леонтьева называется продуктивной.

Справедливы следующие критерии.

1) Матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E − A) ⁻¹существует и неотрицательна.

2) Матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд E+ A+A². (1.7)

Доказывается, что если бесконечный ряд (из матриц) , E + A + A²+…, сходится, то его сумма есть матрица(E − A)⁻¹.

Отметим, что если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы меньше 1, то матрица А продуктивна. Действительно, пусть q – наибольшая из указанных сумм, q < 1.

Тогда все элементы матрицы не превосходят q.

Оценим элемент матрицы A²:

(A²)_ij= a_i1^.a_1j+a_i2^.a_2j+…+a_in^.a_nj≤ q²

Аналогично получаем, что (A²)_ij ≤ q³, и т.д. Значит ряд (1.7) сходится и матрица A продуктивна.

П ример решения задачи в среде MathCAD приведен далее для заданной матрицы продуктивности небольшой размерности.