5. Оптимизационные модели

19. Основными исходными началами для планирования являются принципы. Важнейшим считается принцип оптимальности.

Принцип оптимальности подразумевает необходимость выбора лучшего варианта на всех этапах планирования из нескольких возможных или альтернативных. Критерием оптимальности различных планов может быть минимальная трудоемкость, материалоемкость или себестоимость продукции при существующих условиях производства и ограничениях ресурсов, а также максимальная прибыль и другие конечные результаты, величина которых предварительно определяется в процессе внутрифирменного планирования на каждом предприятии.

Оптимизационные (экстремальные) модели в экономике возникают при практической реализации принципа оптимальности в управлении.

Необходимым условием использования принципа оптимальности является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать те или иные управленческие решения. 

Принцип оптимальности в планировании и управлении:

• Принцип оптимальности предпологает следущее:

• Наличие определённых ресурсов;

• Наличие определённых технологических возможностей;

• Цель хозяйственной деятельности:

• Извлечение прибыли;

• Удовлетворение потребностей;

• Предотвращение угрозы;

• Накопление знаний;

• И тд.

• Суть принципа:

• Планирование хозяйственной деятельности таким образом, чтобы при имеющихся ресурсах и технологиях не существовало способа достичь цели в большей степени, чем это предусматривает план;

• В полной мере этот принцип может быть реализован только с помощью экономико-математических моделей.

20. Задачи оптимального программирования.

Задачей оптимизации в математике, информатике и исследовании операций называется задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значения параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчетом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Математическое программирование — дисциплина, изучающая теорию и методы решения задачи оптимизации, посвященная методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).

Задачи Математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий.

Математическое программирование включает:

• Линейное программирование:

• целевая функция;

• ограничения;

• выпуклое программирование:

• целевая функция;

• допустимое множество выпуклы;

• квадратичное программирование:

• целевая квадратичная функция;

• дискретное программирование.

21. Целевая функция - функция, которая связывает цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми переменными в задаче оптимизации.

В широком смысле целевая функция это математическое выражение некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.д.) в сравнении с другим. Целевая функция стремится найти такие оценки, при которых она достигает минимума. Важно, что критерий всегда привносится извне, и только после этого ищется правило решения, минимизирующее или максимизирующее целевую функцию.

Целевая функция совместно с ограничениями, накладываемыми на величины, характеризующими состояние системы, образуют математическую модель задачи управления, которую необходимо решать. Оптимальное в процессе управления решение задачи доставляет экстремум целевой функции - минимизирует или максимизирует (в зависимости от смысла задачи) выражение целевой функции. Решение обеспечивается соответствующим подбором значений управляемых переменных, которыми в реальной системе являются конкретные физические величины, характеризующие производственно-экономические процессы. Задача решается методами математического программирования. Выбор конкретного метода определяется видом целевой функции и ограничений. В частности, если целевая функция и ограничения линейны, то задача сводится к задаче линейного программирования и решается симплекс-методом.

22. Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющими эту область.

Область допустимых решений – это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.

Если система ограничений несовместима, то область допустимых решений является пустой. Ограничения подразделяются на:

а) линейные (I и II) и нелинейные (III и IV);

б) детерминированные (А,В) и стохастические (группы кривых ).

Ограничения модели определяются с помощью значений соответствующих ячеек, которые должны находиться в определенных пределах или удовлетворять граничным условиям. Ограничения могут налагаться как на целевую ячейку, так и на переменные ячейки (по два ограничения для каждой изменяемой ячейки с указанием верхнего и нижнего пределов, а также до ста дополнительных).

23. Область допустимых решений – это область, в пределах которой осуществляется выбор решений.

Граничные условия - значения фазовых переменных или функций, заданные на границе исследуемой области.

Граничные условия подразделяют:

• Граничные условия первого рода (условия Дирихле) - значения фазовых переменных, заданные на границе области;

• Граничные условия второго рода (условия Неймана) - значения потока фазовой переменной через границу области (значение градиента фазовой переменной на границе области)

• Граничные условия третьего рода (уравнения баланса) - уравнения, связывающие значения потока фазовой переменной с самой переменной.