3.1.1.2. Оптимальный алгоритм приема при полностью известных сигналах

В реальных условиях на входе приемника действует сумма полез­ного сигнала и помехи

(2.1)

где - полезный сигнал, -помеха

Полезный сигнал u_x(t) маскируется шумами u_m(t), следовательно. на выходе приемника не произойдет точного воспроизведения переданного сообщения х.

По принятой реализации y(t) сигнала и помехи можно с определенной вероятностью судить о том, что передано то или иное значение сообщения х.

Таким образом, на основе анализа реализации y(t) самое большее, что можно потребо­вать от приемника это определить вероятности передачи различных значений сообщения х при данном значении реализации.

Например, если передается сообщение х, имеющее два зна­чения х₁ и х₂, которым соответствует импульс («да») или пауза («нет») на входе приемника, то от приемника можно потребовать на основе обработки принятой реализа­ции у(t) вычисления апостериорной (послеопытной) вероятно­сти того, что передано «да», или вероятности того, что передано «нет». При этом до приема реализации y(t) должно быть из­вестно априорное распределение вероятностей р(х) передачи того или иного значения сообщений х. В рассмотренном при­мере оба значения сообщения х могут быть равновероятными (р(х_i) =0,5) или неравновероятными (например, р(х₁)=0,l, р(х₂)=0,9).

Полная вероятность того, что в случае приема реализа­ции y(t) было передано сообщение х, равна

(2.2)

где р(х, у)— полная вероятность, вероятность совмещения двух событий передачи сообщения х и приема реали­зации y(t);

Ру (х) — условная, апостериорная (послеопытная) вероят­ность того, что при условии приема реализа­ции y(t) было передано сообщение х;

р (у) — вероятность приема реализации y(t) при всех воз­можных сообщениях х;

р_х(у)— условная вероятность приема y(t), если передано сообщение х;

р(х) — априорная (определенная до опыта) вероятность передачи сообщения х (распределение вероятно­стей в случае дискретного или плотность вероят­ности в случае непрерывного характера х).

О переданном сообщении в приемнике можно судить только по принятой реализации y(t) (другой информации нет), т. е. приемник может вычислить условную вероятность передачи со­общения х при условии приема реализации y(t).

Пусть переданному сообщению х₁ соответствует на входе приемника при отсутствии шумов напряжение полез­ного сигнала u_x1(t) (рис. 2.1), а переданному сообщению х₂ — напряжение u_X2(t). Поскольку полезный сигнал на входе прием­ника сопровождается шумами (u_ш(t), рис. 2.2), принятая реа­лизация y(t) = u_х(t) +u_ш(t) может заметно отличаться по форме от полезного сигнала в обоих случаях; она представляет собой случайную функцию времени (рис. 2.3). Поскольку известно, что сообщению х₁ с большей

Рис.2.1 Полезный сигнал

вероятностью соответствует боль­шее напряжение полезного сигнала на входе приемника, по реа­лизации y(t) (рис. 2.3) можно с большей вероятностью утвер­ждать, что передано сообщение х₁.

Рис. 2.2 Реализация шума

Рис. 2.3 Реализация сигнал + шум

Пересечение уровня обнаружения U_o в приемнике можно отнести за счет пе­редачи сообщения Х₁. Вероятность пересечения порога U_o при передаче сообщения х₂ меньше, чем при передаче х₁, поскольку . Решение о наличии сообщения х₁ по реализации у(t) может оказаться ошибочным: всегда имеется некоторая вероят­ность ошибки в принятии решения.

Например, на месте ожидаемого полезного сигнала может оказаться сильный отрицательный выброс в огибающей шумов, суммарный сигнал не достигнет порога обнаружения и будет принято решение об отсутствии сигнала. Наоборот, может по­явиться достаточно большой шумовой выброс, который без по­лезного сигнала превысит порог обнаружения, будет принято решение о наличии полезного сигнала, когда его нет. Задача заключается в том, чтобы сделать приемник, который обеспечи­вает максимальную вероятность правильного решения, макси­мальную вероятность правильного обнаружения полезного сиг­нала и минимальную вероятность ошибочного решения, мини­мальную вероятность ложной тревоги.

Приемник, вычисляющий апостериорную (обратную) ве­роятность и принимающий решение о наличии сигнала по ее максимальному значению, позволяет удовлетворить поставлен­ным выше условиям и обеспечить максимальную вероятность правильного обнаружения сигнала при заданной или минималь­ной вероятности ошибочного решения (ложной тревоги).

Выражение (2.2) дает возможность найти обратную веро­ятность Р_у(х) и установить операции, которые необходимо со­вершить в приемнике над сигналом, чтобы получить максималь­ное ее значение.

Из (2.2) находим

(2.3)

Поскольку р_у(х) вычисляется после приема реализации y(t), когда y(t) полностью известна и, следовательно, известна веро­ятность появления принятой реализации р(у), множитель в (2.3) можно заменить постоянным коэффициентом k₁. Тогда получим

(2.4)

Сумма вероятностей р_y(х) по всем значениям х должна рав­няться единице, поэтому коэффициент k₁ можно найти из усло­вия нормировки

, (2.5)

где S_x — область всех возможных значений х.

Априорное распределение р(х) считается известным и требуется найти распределение р_х(у), которое в рассматриваемом случае представляет собой функцию х, так как у определено принятой реализацией.

Распределение р_х(у) как функция х называется функцией правдоподобия и представляет собой вероятность принять реа­лизацию у при переданном сообщении х. Так как при данном х функция u_x(t) известна достоверно, следовательно, вероятность реализации y(t) полностью определяется вероятностью реали­зации u_ш(t)= y(t) - u_x{t). Переданное сообщение х и помеха u_ш(t) обычно статистически независимы, поэтому

(2.6)

где - плотность вероятности помехи.

Реализацию шумового напряжения (рис. 2.2), которая со­ответствует реализации у(t) и наблюдается в приемнике в тече­ние заданного конечного времени Т, в соответствии с теоремой Котельникова можно представить в виде приближенного ряда дискретных значений:

(2.7)

где и_шk, у_к и u_xk - соответственно дискретные значения шумового напряжения, суммарного напряжения принятой реализации и полезного сигнала, содержащегося в принятой реализации;

- число интервалов разложения;

Т — время наблюдения;

- ширина спектра, пропускаемого приемни­ком;

- интервал разложения ;

- полоса пропускания приемника. Одномерный закон распределения собственных шумов ра­диоприемника является нормальным со средним значением, рав­ным нулю; каждая дискретная составляющая и_шk распределе­на также по нормальному закону со средним значением, рав­ным нулю;

(2.8)

где - дисперсия распределения, равная сред­нему квадрату по времени (две черты) от квадрата напряже­ния шумов или среднему статистическому квадрату напряже­ния шумов (одна черта).

Дискретные значения u_шk являются статистически независимыми, некоррелированными. Поэтому совместная плотность вероятности для п дискретных значений равна произведению плотностей вероятности р_шk:

или

(2.9)

Величина для данного приемника постоянна, по­этому на

основании (2.9), (2.6) и (2.7) можно записать

где - спектральная плотность мощности шумов (на сопротивлении 1 ом).

Подставляя последнее выражение в (2.4) и переходя от суммы к интегралу, получим

(2.10)

или, учитывая (2.6), имеем

(2.11)

где - постоянный коэффициент, определяемый из усло­вия нормировки (2.5).

Возведя (2.11) в квадрат, получим

(2.12)

Величина представляет собой энергию принятой реализации y(t) и не зависит от х. Поэтому при вычислении множитель может рассматриваться постоянным (k₄).

Величина представляет собой энергию полезного сигнала, несущего сообщение х.

Учитывая сказанное, (2.12) можно записать в следующем виде:

(2.13)

Из (2.13) следует, что р_у(х) при постоянном р(х) достигает максимального значения, когда функция правдоподобия

(2.13а)

достигает максимального значения. Максимальное значение Р_х(у) получается, когда u_x(t) совпадает с принятым сообще­нием.

Оптимальный приемник вычисляет обратную вероятность в соответствии с (2.13) для всех возможных х и принимает ре­шение о наличии того или иного х в принятой реализации по максимальному значению р_у(х), которое соответствует одному из указанных значений х.

Над принятой реализацией оптимальный приемник совер­шает одну операцию - операцию образования функции взаим­ной корреляции принятой реализации y(t) и полезного сигнала u_x(t). Остальные преобразования в (2.13) не связаны с y(t), совершаются над величинами, которые известны до приема y(t) и могут учитываться путем калибровки выходного напряжения приемника.

Обозначим для удобства дальнейшего изложения функцию взаимной корреляции

(2.14)

и отношение энергии полезного сигнала к спектральной плотно­сти мощности шумов на выходе оптимального приемника

(2.15)

Таким образом, оптимальным можно назвать приемник, ко­торый совершает над принятой реализацией операцию образо­вания взаимной функции корреляции φ полезного сигнала u_x(t) и реализации y(t), т. е. умножает принятую реализацию на опорный сигнал u_x(t), в точности соответствующий ожидае­мому, и интегрирует произведение в течение времени наблюде­ния, длительности Т полезного сигнала.

В рассматриваемом случае полностью известного сигнала оптимальная обработка принятой реализации может быть за­вершена полностью до детектора, в линейной части радиоприем­ника.