1.1.1.3. Структура одиночного прямоугольного радиоимпульса во временной и частотной области

Анализ спектра периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов показывает, что при увеличении периода следования сигналов амплитуды спектральных составляющих и расстояние между ними по частоте уменьшаются (см. рис. 1.5.). В пределе при периодический сигнал становится одиночным, а спектр из дискретного или линейчатого превращается в сплошной.

Для определения спектров одиночных сигналов используется уже не ряд, а интеграл Фурье. Функции U(t), описывающие сигналы, должны быть абсолютно интегрируемы и удовлетворять условиям Дирихле. Тогда можно записать

, (1.5)

. (1.6)

Величина обычно называется спектральной плотностью, спектральной характеристикой или просто спектром непериодического сигнала.

Одиночный радиоимпульс прямоугольной формы можно представить как "вырезку", ограниченную во времени, из непрерывного косинусоидального колебания на несущей частоте . С другой стороны, такой радиоимпульс (см. рис. 1.6) можно рассматривать как произведение модуляционной функции вида одиночного прямоугольного видеоимпульса и несущего косинусоидального колебания частоты .

Рис. 1.6. График одиночного радиоимпульса прямоугольной формы

Здесь

Поскольку известна спектральная плотность модуляционной функции (видеоимпульса прямоугольной формы) используем для расчета АЧС одиночного импульса прямоугольной формы одно из свойств преобразования Фурье – свойство умножения функции времени на косинус (теорема о модуляции).

.

В результате получим выражение для спектральной плотности одиночного прямоугольного радиоимпульса.

. (1.7)

Последнее выражение представляет спектральные характеристики сигнала на комплексной плоскости, т.е. в диапазоне частот от до . Анализируя выражение (1.7) в указанном диапазоне частот, заметим, что модуль имеет наибольшее значение в районе частот и .

Это объясняется тем, что знаменатель одной из дробей в квадратной скобке становится в районе этих частот относительно малой величиной: при ω=ω_с вторая дробь значительно меньше первой, а при ω=-ω_с , наоботот, первая дробь значительно меньше второй (из курса математики – =1).

Таким образом, выражение для спектральной плотности прямоугольного радиоимпульса в области положительных частот достаточно точно описывается первой дробью, а в области отрицательных частот – второй дробью. Поэтому с некоторым приближением можно записать для положительных частот

S(ω)≈ , (1.8)

а для отрицательных частот

S(ω)≈ . (1.9)

В соответствии с выражением 1.8 и 1.9 форма АЧС одиночного прямоугольного радиоимпульса представлена на рис. 1.7.

Рис. 1.7. АЧС одиночного прямоугольного радиоимпульса

1.1.1.4. Структура прямоугольной пачки прямоугольных радиоимпульсов во временной и частотной области

Пачка импульсов относится к числу широко применяемых на практике сигналов. Например при обзоре радиолокатором зоны обнаружения от воздушных судов отражаются и поступают на вход приемника последовательности из определенного числа импульсов одинаковой формы.

Закон изменения амплитуды импульсов в пачке определяется её огибающей.

Допустим, что пачка состоит из конкретного числа периодически повторяющихся сигналов произвольной формы. Пусть начало отчета времени проходит через середину первого импульса(рис. 1.8.)

Рис. 1.8. Пачка импульсных сигналов

Определим спектр пачки импульсов.

На основании теоремы (свойства) линейности и теоремы о сдвиге аргумента спектральная плотность пачки импульсов определяется как сумма спектров отдельных сигналов

,

где S₁(jω) – спектр первого импульса; n и T – число импульсов и период их следования в пачке.

В квадратных скобках получена геометрическая прогрессия, знаменатель которой q=e^-jωT. Сумма геометрической прогрессии определяется дробью

,

где а₁ и а_n – первый и последний члены прогрессии.

Следовательно, .

Для приведения последнего выражения к удобному для анализа виду применим формулу Эйлера e^±jx=Cos x ± j∙Sin x, а также известные тригонометрические

формулы и Sin 2x=2Sin x∙Cos x.

Тогда .

Таким образом, спектр пачки

S_пач.(jω)= .

Модуль спектральной плотности пачки импульсов

S_пач.(ω)= .

Модуль нормированной спектральной плотности пачки по его значению S_пач. (0) при ω=0 равен

S_пач.н. (ω)= S_н(ω)∙А(ω),

где S_н(ω)= – модуль нормированной спектральной плотности или нормированный АЧС импульса в пачке;

А(ω)= – функция частоты ω, не зависящая от формы импульсов

и определяемая лишь их числом n и периодом следования Т.

Выражение А(ω) справедливо для пачек импульсов любой формы. С его помощью зная АЧС импульса в пачке и вид функции А(ω), можно построить АЧС всей пачки импульсов путем перемножения двух функций S_н(ω) и А(ω).

Рассмотрим подробнее функцию А(ω). Можно заметить, что числитель и знаменатель А(ω) одновременно обращаются в нуль при кратном π, т.е. , к=0,1,2,…. Раскрывая получающуюся неопределенность по правилу Лопиталя, находим, что в этих случаях А(ω)=1, т.к.

.

В интервале частот от 0 до ω=2π/Т=Ω числитель дроби в А(ω), а, следовательно, и функция А(ω) принимают нулевое значение n-1 раз. Периодичность числителя функции А(ω) в n раз выше, чем знаменателя. Графики функции А(ω) имеют лепестковую структуру(см.рис. 1.9).

Рис. 1.9. график функции А(ω)

Как видно из рис. 1.9, график функции А(ω) содержит большие и малые лепестки. Высота больших лепестков А_тах=1, а высоты малых лепестков определяются локальными максимумами А_л.м. функции А(ω). Число локальных максимумов и их значения можно найти путем анализа функции А(ω). Большие лепестки функции А(ω) вдвое шире малых, а ширина всех малых одинакова. Расстояние по оси частот между серединами больших лепестков представляет интервал повторения функции А(ω), равный частоте следования Ω=2π/Т импульсов в пачке.

Таким образом, спектр прямоугольной пачки радиоимпульсов прямоугольной формы определяется способом умножения АЧС одного радиоимпульса на функцию А(ω).

S_н.пач(ω)= S_1н(ω)∙ А(ω)= ,

где ω_с – несущая частота радиоимпульсов,

n – число импульсов в пачке.

Результирующей АЧС прямоугольной пачки радиоимпульсов получим путем графического перемножения функций S_1н(ω) и А(ω)(см. рис. 1.10).

Рис. 1.10. а) График прямоугольной пачки прямоугольных радиоимпульсов

б) Нормированный АЧС прямоугольной пачки прямоугольных радиоимпульсов

Из анализа АЧС пачки радиоимпульсов можно сделать следующие выводы:

Форма арок спектров пачек определяется формой импульсов в пачке.

Ширина арок по оси частот обратно пропорциональна длительности импульса.

Форма лепестков АЧС определяется формой пачки.

Ширина лепестков АЧС по оси частот обратно пропорциональна длительности пачки импульсов τ_n=nT+τ_и.

Расстояние по оси частот между лепестками АЧС обратно пропорционально периоду T_n следования импульсов в пачке.

Ось симметрии АЧС пачки расположена в области несущей частоты ω_с радиоимпульсов.