3.2.5. Одноканальные смо с ограниченным количеством мест в очереди и терпеливыми заявками

Рассмотрим СМО с ограниченным количеством мест в очереди, с одним обслуживающим прибором (одноканальная СМО, n=1) и в предположении, что все заявки, поступающие на вход СМО, являются терпеливыми. В этом случае можно считать, что . Иначе это можно записать как

.

В то же время при полностью заполненной очереди поступившая заявка на обслуживание не принимается СМО и теряется.

Формула для нахождения вероятности простоя СМО

. (3.12)

Формула для вероятности нахождения СМО в одном из i-х состояний

. (3.13)

При k=j=n+d (при полностью заполненных местах в обслуживающем приборе и очереди) вероятность состояния СМО будет равна

.

Эта вероятность состояния СМО называется вероятностью отказа и обозначается как P_отк.

Если учесть, что рассматривается одноканальная СМО (n=1), то выражения (3.12) и (3.13) для определения вероятностей простоя СМО и отказа обслуживания заявки можно записать в виде

, (3.14)

. (3.15)

Вероятность обслуживания заявки в СМО будет равна

. (3.16)

Зная количество заявок, находящихся в СМО в данный момент времени при данном ее состоянии, и зная вероятность каждого состояния СМО, возможно определить среднее количество заявок, которое может находиться в СМО при данном количестве обслуживающих приборов, данном количестве мест в очереди и заданной интенсивности входного потока заявок. Для нахождения среднего количества заявок используется выражение для определения математического ожидания вида

, (3.17)

где i  номер состояния СМО;

 вероятность нахождения СМО в одном из i-х состояний.

Для одноканальной СМО n=1.Поэтому выражение для среднего значения количества заявок в СМО примет вид

. (3.18)

Формулы (3.14), (3.15) и (3.18) могут быть использованы только для расчета характеристик одноканальных СМО с ограниченным количеством мест в очереди и терпеливыми заявками.

3.2.6. Многоканальные смо с ограниченным количеством мест в очереди и с нетерпеливыми заявками

Рассмотрим СМО с несколькими обслуживающими приборами (n>1), с ограниченным количеством мест в очереди и возможными потерями заявок в очереди (_оч0) и в обслуживающем приборе (_оп0) за счет нетерпеливости заявок. При задержке заявки в СМО больше допустимого времени информация заявки устаревает, и она вынуждена покинуть СМО из того устройства, в котором она находилась в данный момент (очереди или обслуживающем приборе). При полностью заполненной очереди вновь поступившая заявка получает отказ в обслуживании и теряется.

Используя формулы Эрланга, возможно получить выражения для предельных значений вероятностей состояний СМО при заполнении заявками обслуживающего прибора, но при пустой очереди,

при (3.19)

и при заполнении мест в очереди, но при полностью заполненном обслуживающем приборе,

при и . (3.20)

При r=d и q=n рассчитывается вероятность отказа заявке в обслуживании.

Вероятность простоя СМО (Р_о) определяется из условия равенства единице суммы вероятностей всех состояний СМО

Подставив в эту формулу выражения для Р_q (3.19) и Р_n+d (3.20) получим окончательно

. (3.21)

Среднее количество заявок в очереди равно трем.

. (3.22)