Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

§

22)

ПРОИЗВОДНЫЕ

РАЗЛИЧНЫХ

ПOPjlДJ<OB

107

Аналогично

выводятся

формулы

для

производных

любого

по­

рядка

и

от

некоторых

других

элементарных

функций.

Читатель

сам

сможет

найти

формулы

для производных

n-ro

порядка

от

функций у=х1с.	y=cosx. y=lnx.
На случай	производных любого

порядка

легко

обобщаются

Пf)авила, указанные

В данном случае

в теоремах 2

имеют место

и 3 § 7. очевидные

формулы~

(и

+v)<ni

=

um1

+v<m,

(Cu)<m

=

Си(n

1

•

Выведем

формулу

(так

называемую

формулу

Лейбница).

даю­

щую возможность вычислить

изведения двух функций и (х)

производную n-ro порядка от

v (х). Для того чтобы вывести

про­ эту

формулу.

мы

найдем

сначала

несколько

производных,

а

затем

установим общий тобоrо порядка:

закон,

пригодный

для

вычисления

производной

у	=tW.
у'	= u'v	+иv',
у"	=и"v	+и'v'+u'v'+иv"=u"v+2u'v'+иv".
у'" =и"'v+и"и' +2и"v' +2и'v" +и'v"+av'" =
yiv = u vv+4u'"v'			=и'"v+Зи"v' +Зи'rl'
			+6и"v" +4и'v'" +uv v.
	1		1

+uu''\

Закон

составления

производных

сохраняется

для

производных

любого

порядка

и

заключается,

очевидно,

в

следующем:.

Надо

выражение

(и

+v)n

разложить

по

формуле

бинома

Ньютона

и

в

полученном

разложении

заменить

показатели

степеней

для и

и	v		указателями	порядка производных.	nричем нулевые
(и	0	= v°), входящие в крайние члены раз.ложения, надо

степени заменить

самими

функциями

(т.

е.

«производными

нулевого

порядка&):

y<n1

=

(uv)<ni

=

u<n1v+nu<n

-

1v

+

п

<:.;

1>

u<n-

11

v"

+

...

+иv<п1

•

Это и есть Строгое

формула Лейбница.

доказательство этой

формулы

можно

было бы

про­

вести методом			полной	математической			индукции (т. е.
что	из	справедливости			этой	формулы		для	порядка
справедливость			ее для	порядка		п+ 1).

доказать, п следует

Пр им ер З. Решение.

у=~хх1

•

Найти ttрGизводиу113					g<	11	1.
U =etlX,	V	=Х	1	,

rf,r&I

		и'=аеах,			и'=2z,
		и"=а		еах,	if=2,
			9		. . .	. ,.
		. . . .
uf.n)		=aneax,		v"'	=rJ.11	= ...	=6,
=aneaxх		+па	-	е•х•	n'n-1)
	1				2х+	'.	an -•еах•2
		11	1			1 2	1

UK

§24)

ПРОИЗВОДНЫЕ

ОТ

НЕ.ЯВНЫХ

ФУНI<ЦИЙ

109

Но d2g

Действительно, на основании (3)			и
здесь	du = (J)' (х) dx	зависит	от
= d (F~ (и)) du +F~ (и) d (du) или

(4)	получаемd"у=d (F~(u)du).
х,	и мтому мы получаем

d2y

=

F;и

(и)

(du)

2

+F~

(и)

d2u,

где

d2u

=

(J)"

(х)

(dx)

2	•

(5)

Аналогичным

образом

находятся

d

3

у

и

т.

д.

Пр им ер 1.

Найти

dy и d

y

сложной

функции

2

y=s.in U,

U=

Ух•

Решен це.

dy =cos и•

1

2

,r- dx=cos udu.

r

х

Далее,

по формуле (5)

получаем

(du)

+cos и•и" (dx)

=

d y=-sin и (du)

+cos ud

u=- sin и

2

2

2

2

2

у(dx)

+cos

=-sinu

(2 ;х

и(

-

2

4)12

)

(dx)I.

§

24.

Производные различных порядков от неявных

и функций, заданных параметрически

функций

1.

Покажем

на

примере

способ

нахождения

производных

различных	порядков от неявных функций.
Пусть	неявная функция у от х определяется

равенством

х2	у2
аа+"ь2-1

=О.

<•>

Дифференцируем есть функция от

по х:

х

все

члены

этого

равенства,

помня,

что у

отсюда

находим

(2)

Последнее что у есть

равенство	снова
функция	от х):

дифференцируем

по

х

(имея

в

виду,

Подставляем

сюда

				dy
d2y	= -		ь2	y-xdx
dx2			а2	у2
вместо		производной ::

ее

выражение

из

ра­

венства

(2),

получаем

110		ПРОИЗВОДНА51 И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
или	после	упрощения

(ГЛ.

Ш

Из уравнения

(1) следует,

что

2

у

2

2

х

2

2

Ь2,

а

+Ь

=а

рую производную

можно

представить

в

виде

поэтому

вто­

Дифференцируя

по

х

d2y	=
dx2
последнее

Ь4
а2у3	•
равенство,

"Найдем

dзу dx~

и

т.

д.

2.

Рассмотрим

теперь

задачу

о

нахождении

производных

BqIC·

шихпорядковот

функции,

заданной

параметрически.

Пусть

функция

у

от

х

задана

параметрическими

уравнениями

X=cp(t),

y='))(t),

t

0

~t~T,

(3)

причем		функция	х = ер (t) на
цию	t=Ф(х).
В	§	18 было	доказано,

отрезке [t			0	,	Т] имеет обратную функ­
что	в	этом			случае производная :~

определяется

равенством

д

ля

нахождения

	dy
dy	dt
dx=cfx•
	dt
u	u
второи	производном

d	2	y
dx2

		(4)
ди	ффе	ренцируем

по

х

равенство

(4),
d	2	y
dx		2	-

имея
d	(
dx

в виду,	что
:r )	d	(
:;	dt

t есть функция
:r) dt		'
::	dx

от

х:

(5)

..!!,_( :r)= **(t)-!/r			¾ (i)			_
но
dt	!!;!:_	( dx )
		2
	dt	dt	1
		dt
		dx = dx.
			dt
Подставляя		последние выражения		в формулу
		dx d	y	dy d	x
		2		2
		dt dt2 -		dt dt2

(5),

получим:

(::у