Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

94

ПРОИЗВОДНАЯ:

И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

[ГЛ.

III

Таким

образом,

уравнения

(1)

определяют

у

как

функцию

от

х,

и

говорят,

что

функция

у

от

х

задается

параметрически.

Вьtражение у=
получиться	путем

f

(х) непосредственной зависимости у от х может
исключения	параметра t	из	уравнений	(1).

Параметрическое			задание
механике.	Если	в	плоскости

кривых	широко	применяется		в
Оху движется некоторая			матери­

альная

точка

и

нам

известны

законы

движения

проекций

этой

'!/

точки

на

оси координат,
Х=<р (t),	y=\j,

(t),

(1 ')

где (1')

параметр являются

t

есть время, то уравнения
параметрическими	уравне­

ниями	траектории
Исключая из этих

движущейся	точки.
уравнений параметр t,

получим у= f (х)

уравнение траектории в форме

или F (х, у)= О. Рассмотрим, на­

пример,

такую

задачу.

Рис. 75. Решение.

Возьмем

		3 ад а ч а.		Определить		траекторию		и	место
падения			груза,-	сброшениого с самолета,					движу­
щегося			горизонтально со скоростью				v0 на		высоте
у	0	(сопротивлением			воздуха	можно	пренебречь).
			координат		так, как	показано на		рис. 75,
систему

предполагая, что	самолет сбрасывает	груз в тот момент,
ось Оу. Очевидно,	что горизонтальное	перемещение груза

когда будет

он пересекает равномерным,

с постоянной скоростью v0:	x=v0
груза nод влиянием силы тяжести

t.	Вертикальное	перемещение	падающего
			/2	. Сле-
будет выражаться формулой s=g
			2

довательно,- расстояние груза	от
g/2
жаться формулой У=Уо-т •

земли

в

любой

момент

времени

будет выра­

Два уравнения

будут

параметрическими

уравнениями

траектории.

Чтобы

исключить

параметр

t,

из во

первого	уравнения
второе	уравнение.

находим значение	t = ..!:....
	Vo
Тогда получим уравнение

и	подставляем это
траектории в форме

значение

Y=Yo-Lx2

2v~

•

Это-уравнение

параболы

с

вершиной

в

точке

М

(О,

у0

),

причем

ось

Og

слу­

жит	осью	симметрии параболы.	ОС. Обозначим абсЦJ:Iссу
	Определим величину отрезка
заметим,		что ордината этой точки	у=О. Подставляя	эти

точки С значеиия

через Х

в nреды:

дущую

формулу,

будем

иметь

откуда

96

ПРОИЗВОДНАЯ:

И

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

[ГЛ.

111

На	основании	равенства (2") ааключаем, что
лельна оси Ох.			в уравнениях (2) t есть
	С.Ледова'!'еnно,

CQ=y, т. е. прямая СМ параJJ­

угол, обраwванный радиусом OВ

и осью абсцисс.
	Ц и к л о и д
на	окружности,

Угол	t	иногда	называют
а. Циклоидой			называется
если		эта окружность

эксцентрическим углом.
кривая,	описанная точкой, лежащей
катится	без скольжения	no прямой

(рис.

78).

Предположим,

что

точка

М

катящейся

окружности

в

начале

дви­

жения

совпадала у

с

началом

координат.

Определим

координаты

точки

М

после

Рис.

78.

того, как окружность повернулась на у1·ол		t.	Обозначим
щейся окружности.	Как видно из рис. 78,
	х=ОР=ОВ-РВ,

через

а

радиус

катя­

но так

как

окружность катится без	скольжения, то
0В=МВ=аt,	PB=MK=asint.

С.nедовательно, x=at-asin t=a (t-sin t).
Далее,
у=МР=КВ=СВ-СК=а-а cos t=a (l-cos t).
Уравнения	O<;;t<:;2:rt,
x=a(t-sint), y=a(l-cost),

@)

являются параметрическими
до 2зt точка М	опишет одну
Исключим	параметр	t из
ную зависимость хот у.		На
обратную:

уравнениями циклоиды.	При изменении	t	от О
арку циклоиды.	получим непосредствен­
последних уравнений и
отрезке 0<;:t,;;;;:rt функция y=a(l-cost)			имеет

t=arccos

а-у. а

Подставляя

выражение для t в первое из уравнений (3),

x=aarccos~-asin ( arccosa а у)

получи~•

или x=aarccos а-у_у 2ау-у		2	при 0.;;;;x<;:rta.	Непосредственно из
	а
замечаем,	что при :rta s;;;; х.;;;; 2:rta
	х=2м-(aarocosa а Y_ V2ay-y				) .
				2

рис.

78

Заметим, что	функция	х=а (t-sin t)
через элементарные функции. Поэтому
11дементарные	q,ункции.

имеет обратную,	но она не выражается
и функция u=f	(х) не выражается через