Шапошников Б. И. Лекции по линейной алгебре.

Тема 1. Матрицы и определители

1. Матрицы.

1.1.1. Основные определения. В экономике, финансах и управлении все больше применяют математические методы. Специалисты стали чаще сталкиваться с проблемой обработки и анализа множества данных, почерпнутыми из таких источников, как бухгалтерский учет, оперативный производственный учет, исследование рынка. Практика подсказывает, что нельзя ограничиваться только сбором и регистрацией данных; нужно их обработать и результаты использовать для принятия решения, составления планов и так далее. Количественный анализ с применением математических методов используется даже в таких простых задачах, когда рассчитываются проценты или средние величины. Более сложная обработка требует более высокого уровня математической подготовки. Существует определенный математический аппарат, овладение которым принесет пользу специалисту в области экономики, менеджмента и финансов. К числу востребованных математических методов относится линейная алгебра. Линейную алгебру (алгебру векторов и матриц) ценят за краткость и универсальность. Матрицы служат для представления числовых данных в удобной для математической обработки форме. Они удобны как средство организации данных.

2. Матрицей размерности [mn] называется прямоугольная таблица, составленная из объектов a_ij и содержащая m строк и n столбцов.

(1) Объекты, из которых образована матрица, называются ее элементами. Это могут быть числа, функции и т.д. Мы будем рассматривать числовые матрицы. Первая цифра индекса элемента матрицы означает номер строки, в котором этот элемент стоит, а вторая номер столбца.

2. Матрицы, элементами которых являются числа, называются числовыми матрицами. Матрица, состоящая из нулевых элементов которой называется нулевой.

1.1.4. Если n=m, то есть количество строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной: (2)

Элементы a₁₁, a₂₂, a₃₃ образуют главную диагональ, а элементы a₃₁, a₂₂, a₁₃ образуют побочную диагональ. Квадратная матрица называется симметричной (относительно главной диагонали), если все a_{i j}=a_{j i} .

5. Матрица вида , если хотя бы одно из чисел λ_i0 (i=1,2,3) называется диагональной. Если все элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали, равны, то матрица называется скалярной, если все элементы главной диагонали равны единице (λ₁=λ₂=λ₃=1), то она называется единичной и обозначается: . Для матрицы размерности [2 2]: .

1.1.6. Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если равны соответствующие элементы обеих матриц.

1.1.7. Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называют верхней (нижней) треугольной.

1.1.8 Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей–строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей–столбцом.

Примеры. Матрица-строка С= (5 4 8) и матрица-столбец X= . 1.2. Линейные операции над матрицами.

1.2.1. Суммой (разностью) двух матриц А и В одинаковых размерностей называется матрица, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц А и В.

Пример на сложение матриц:

.