5. Решение систем однородных линейных уравнений:

Решить самостоятельно: найти общее решение и одно частное.

1). , 2). .

Ответы. 1). , (5, -7, 1). 2). , (1, 1, 1).

7. Контрольное домашнее задание №3. Тема: Системы линейных уравнений.

Задание: решить систему линейных уравнений.

Исходные данные:

В соответствии с номером варианта задается система линейных уравнений (один вариант), который решается на самоподготовке и предъявляется преподавателю для проверки.

№1. , №2. , №3. ,

Тема 3. Векторная алгебра. (Лекции№5-6)

3.1. Общие определения

3.1.1. Направленный отрезок на плоскости или в пространстве называется геометрическим или свободным вектором. Обозначается вектор символом  , где точки А и В обозначают начало и конец вектора соответственно, а расстояние между ними определяет длину (модуль) вектора (рис.1). Модуль вектора обозначается . Свободный геометрический вектор однозначно определяется своим направлением и длиной, его можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства. Направление вектора считают от начала к концу.

3 .1.2. Вектор нулевой длины называется нулевым вектором. Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они параллельны некоторой прямой или лежат на одной прямой. Они могут быть одинакового или противоположного направлений. Первые называются сонаправленными, а последние противоположными.

А В С

Рис. 1. Векторы на плоскости.

3.1.3. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

3.1.4. Осью называется всякая прямая, на которой задано направление. Ортом произвольного вектора называют сонаправленный с ним вектор, имеющий длину равную единице масштаба.

3.1.5. Проекцией вектора на ось OX называется величина направленного отрезка A₁B₁ на этой оси, где точки А₁ и В₁- проекции на эту ось начала и конца вектора . Проекция вектора на ось определяется формулой .

3.1.6. Векторы в пространстве. Введем в пространстве прямоугольную систему координат ОXYZ. Тогда каждая точка (рис.2) единственным способом определяется тремя числами - своими координатами в этой системе координат, являющимися проекциями точки на оси ОX, ОY и ОZ. Введем три вектора - три единичных вектора, исходящих из начала координат (точки О) и направленных по осям ОX, ОY и ОZ соответственно. Тогда каждый вектор может быть единственным способом представлен и записан в виде:

, или .

Числа называются координатами вектора .

Z

М₁ (₁, ₁ ₁)

М₂(₂₂₂

О У

Х

Рис.2. Вектор в пространстве

С каждыми двумя точками и связывается вектор , идущий из точки в точку . Его координаты определяются: .

3.1.7. Векторы, параллельные одной плоскости или параллельным плоскостям называются компланарными.