3.6. Векторное произведение двух векторов.

3.6.1. Векторным произведением двух векторов и называется третий вектор , модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу, и который перпендикулярен перемножаемым векторам и направлен в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от к вокруг происходил против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора . Обозначение векторного произведения .

3.6.2. Свойства векторного произведения:

1. .

2.  ,  .

3. Векторы , и образуют правую тройку, то есть переход от одного к другому происходит против часовой стрелки.

4. .

5. .

6. , где – число.

7. (₁ , где  ₁ и ₂ –числа.

3.6.3. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов:

.

3.6.4. Векторное произведение двух базисных ортов равно третьему, если они составляют правую тройку:

, , , но .

3.6.5. Векторное произведение выражается через координаты своих сомножителей следующим образом. Пусть , , тогда, используя свойства 2. и 4. получим:

=

= . (6)

3.6.6. Пример.

Дано: , . Вычислить , его модуль (площадь параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах).

Решение.

1. = == –7 +14 –7 .

2.

3.6.7. Пример. Дано , . Найти площадь треугольника, построенного на этих векторах.

Решение.

1) .

2) Находим модуль векторного произведения, то есть площадь параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах:

3) Искомая площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, то есть S=7,5 ед. кв.

3.7. Смешанное произведение трех векторов.

3.7.1. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор

. Обозначение: (  или _c.

Формулу для вычисления смешанного произведения получают умножением склярно вектора на вектор :

(    (7)

2. Свойства смешанного произведения:

* Операции векторного и скалярного произведения можно менять местами, то есть (  =  ).

* Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке его сомножителей, то есть = = . При нарушении порядка расстановки векторов произведение меняет знак.

2. Геометрическая интерпретация смешанного произведения трех некомпланарных векторов: его модуль равен объему параллелопипеда, построенного на перемножаемых векторах как на ребрах.

3. Выводы:

–Условие компланарности трех векторов: если смешанное произведение =0, то эти векторы компланарны.

–Три вектора линейно зависимы, если их смешанное произведение равно нулю, так как три вектора на плоскости линейно зависимы.

3.8. Практическое занятие№4. «Нелинейные операции с векторами»

3.8.1. Примеры решения задач.

1). Вычислить смешанное произведение векторов =(2, 5, 0) ; =(-3, 7, 0) ;

=(0, 0, 2).

Решение. = .

2) . Проверить компланарны ли вектора W(1,0,3), V(1,2,0) , и R(1,1,).

Решение. Вычисляем смешанное : WVR = . Смешанное произведение трех векторов не равно нулю. Следовательно, эти вектора не компланарны. 3) Для векторов АВ=2i+5j+к и АС=–3i+7j–к найти скалярное (АВАС) и векторное произведения N= АВАС, угол между АВ и АС, вычислить смешанное произведение трех векторов (АВАСN) и определить компланарны ли эти вектора.

Решение.

* Находим скалярное произведение двух векторов (АВАС)=2(-2)+57-1=28.

* Вычисляем косинус угла между этими векторами:

* Находим векторное произведение векторов N= АВАС=

= , затем вычисляем смешанное произведение трех векторов:

(АВАСN)= 984.

3.8.3. Контрольное домашнее задание № 4. Тема: Нелинейные операции над векторами. Исходные данные по вариантам:

1. АВ=(1,2,2), АС=(3,3,-3). 2. АВ=(-1,2,-2), АС=(-3,3,3).

3. АВ=(2,2,-1), АС=(3,-3,3). 4. АВ=(1,2,2), АС=(3,3,-3).

5. АВ=(1,–2,2), АС=(2,6,-3). 6. АВ=(1,2,2), АС=(6,2,-3).

7. АВ=(1,2,2), АС=(3,2,-6). 8. АВ=(1,2,2), АС=(2,4,-4).

9. АВ=(4,2,4), АС=(3,3,-3). 10. АВ=(–4,–4,2), АС=(3,3,-3).

11. АВ=(–4,4,2), АС=(1,2,-2). 12. АВ=(1,2,2), АС=(6,2,-3).

13. АВ=(1,2,2), АС=(6,3,-2). 14. АВ=(4,6,12), АС=(3,3,-3).

15. АВ=(6,12,–4), АС=(3,3,-3). 16. АВ=(1,2,2), АС=(–6,4,-12).

17. АВ=(1,2,2), АС=(6,12,-4). 18. АВ=(1,2,2), АС=(2,1,-2).

Задание: 1.Найти вектор N= АВАС, вычислить модули векторов, скалярное произведение векторов (АВАС) и косинус угла ВAС. 2. Вычислить смешанное произведение трех векторов (АВАСN), определить компланарны ли эти вектора

Доцент кафедры ММИЭ Шапошников Б.И.