27. Электромагнитное поле. Явление электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле и токи смещения

Э/м поле - совокупность переменного магн.поля и перем. элек. поля. Теорию э/м. поля заложил Фарадей, завершена была Максвеллом. При этом одной из важнейших идей, выдвинутой М., была мысль о симметрии во взаимодействии эл. и магн. полей, т.к. меняющееся во вр. магн. поле создает эл. поле, то следует ожидать, что меняющееся во вр. эл. поле создает магн. поле. Фарадей открыл явл. э/м индукции. Это явл. состоит в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении магн. потока, пронизывающего поверхность, опирающуюся на этот контур, возникает электрич.ток (индукц. ток). Сам по себе электрический ток возникнуть не может, сл-но, в контуре возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. В р-те многочисленных опытов Фарадей установил, что ЭДС индукции пропорциональна ск-ти изменения магн. потока, пронизывающего поверхность, натянутую на контур. Выбором подходящей системы ед. можно обеспечить не только пропорциональность, но и строгое равенство упомянутых величин: , (5.22) где S - поверхность, натянутая на контур. Примечательно, что изменение вел-ны Ф за счет изменения во вр. индукции магн. поля , или за счет изменения взаимной ориентации век-ров и нормали или за счет изменения площади поверхности S приводит к одинаковым р-там. Смысл з-на э/м индукции Фарадея (5.22) состоит в том, что переменное во вр. магн. поле порождает электрич. поле , но это означает, что они связаны друг с другом внутренним образом, а не только посредством внешних проявлений. До открытия Максвелла, согласно кот. (в отсутствие электрич. тока!) переменное электрич. поле порождает магнитное поле, было еще около 30 лет, только после этого открытия основы теории э/м явлений оказались прочно установленными. Ленц сформул. "правило Ленца", согласно которому ЭДС. индукции вызывает ток такого направления, чтобы препятствовать причине его возникновения. Сегодня это правило обосновывают несколькими путями, и с помощью понятия "устойчивая ТД система" (пр-п Ле-Шателье-Брауна), и с помощью электромеханических м-дов (сила Ампера, работа по перемещению проводника с током в пр-ве). Если ЭДС индукции представить в форме интеграла по замкнутому контуру от индуцированной напряженности электрич. поля , то "правильное" соотношение для з-на Фарадея приобретет форму (5.23) Здесь положительное направление обхода контура (ориентация эл-та длины контура) и направление нормали к эл-ту площади поверхности dS (и для совокупности эл-тов dS) связаны м/д собой правилом правого винта (с конца вектора положительное направление обхода контура - против часовой стрелки; еще иначе, если голова человека ориентирована в пространстве по направлению , то положительным считается такое направление движения, при котором обл., ограниченная контуром, остается слева). В некот. случаях з-н э/м индукции можно использовать в форме (5.24), где век-р - ск-ть смещения во вр. элемента контура Форма (5.24) в явном виде учитывает возможность изменения геометрии или местоположения контура l,при этом частная производная от магн. потока Ф вычисляется при "замороженном" состоянии контура. Можно говорить, что первый член правой части з-на (5.24) обусловлен ск-тью изменения магн. потока во вр, а второй - деформацией и смещением контура в "замороженном" магн. поле. Соотн.(5.24) можно записать в дифференциальной форме, если предположить, что – ск-ть частичек среды, в которую "вморожен" контур: если в (5.24) – определ. только для точек контура, то теперь мы предполагаем, что определена и для точек поверхности S. В этих условиях (5.25) При записи соотношения (5.25) использована матем. теорема Стокса. Из соотношения (5.25) в силу произв-ти выбора поверхности S получаем: (5.26). Где - век-р ск-ти среды. Для неподвижной среды имеем: (5.27)- ур-ние э/м индукции в дифф. форме. Из ур-ния (5.27) следует, что в переменном магн. поле электрич. поле перестает быть потенциальным, как это понималось в электростатике. Выражение (5.26) может дать повод говорить о возможности введения величины , кот. можно было интерпретировать как напряженность электрич. поля в движущейся системе координат. Вернемся к рассмотрению з-на э/м индукции Фарадея с учетом правила Ленца: (5.28) Вспомним, что для относительно медленных переменных процессов можно воспользоваться определением индуктивности: Ф=LJ (5.29) Соотношение (5.28) с учетом определения (5.29) принимает вид: (5.30). Ф-ла(5.30) записана с учетом возможного изменения вел-ны индуктивности L в переменном процессе. Это может происходить при изменении размеров контура или его ориентации, или при измен. магн. cв-в среды. В последнем случае справедлива цепочка соотношений: (5.31). Где μ- магн. проницаемость среды, Н - напряженность магн. поля. Согласно Максвеллу, если всякое переменное магн. поле возбуждает в окружающем пр-ве вихревое электрич. поле, то должно сущ. и обратное явл.: всякое изменение электрич. поля должно вызывать появление в окружающем пр-ве вихревого магн. поля. Для установления количественных соотношений м/д изменяющимся электрич. полем и вызываемым им магн. полем Максвелл ввел в рассмотр. ток смещ.Ток смещ.–ток, кот. обусловлен смещ. эл. зарядов на границе «проводник–диэл.». Ток смещ. связан с изменением во вр. эл. поля на границе проводник–диэл. и имеет особенности: Амплитуда тока смещ. и его направл. совпадают по фазе с таковыми тока проводимости. По знач. он = току проводимости. Частный случай тока смещ. - ток поляризации. Ток поляризации–ток смещен. в материальной диэл-кой. среде. Σ токов смещ. и поляризации состав. полный ток смещ. В мед. практике примен. след. виды токов по форме кривой тока: Синусоид., Прямоуг., Δ. Трапециевидный. Игольчато-экспоненциальный.

Самый простой. периодический синусоидальный ток.

28. Ур-ние Максвелла и их физический смысл. Потенциал Э/м поля, калибровочные преобразования.

C-ма ур-ний Максвелла. Запишем систему ур-ний, полученных ранее как обобщение опытных з-нов электромагнетизма. В дифф. форме ур-ния Максвелла, описывающие э/м поле при заданных распределениях зарядов и токов, имеют вид: ; ; ;

1-ое ур-ние с-мы обобщает з-н э/м индукции Фарадея. 2-ое ур-ние отражает факт отсутствия в природе магн. зарядов. 3-е уравнение является обобщением опытного з-на Б-С-Л. 4-ое ур-ние обобщает з-н Кулона. В интегральной форме с-ма ур-ний М.

Считая заданными ф-ми из с-мы ур-ний М. можно однозначно определить 6 неизвестных компонент векторных ф-ций , кот. определяют э/м поле. Всего же в с-ме ур-ний М. имеется восемь скалярных ур-ний. Казалось бы, что с-ма этих ур-ний -переполнена. Однако, учитывая з-н сохранения заряда, можно показать, что 2-ое и 4-ое ур-ния с-мы есть следствия 6-и остальных склярных ур-ний. Рассмотрим 3-е ур-ние и посчитаем: . Из ур-ния непрерывности имеем . С учетом этого получим: где - произвольная ф-ция координат. Полагая заряды покоящимися в нач момент вр. имеем =0. Тогда . Из первого ур-ния с-мы: / Тогда Положим 1.С-ма ур-ний М. явл. полной. Это означает, что при заданных нач. и граничных условиях из 6-и независимых ур-ний М. можно однозначно определить 6-ь неизвестных скалярных ф-ций [Е_л,Е ,Е,,Н_а,Н ,Н_г), определяющих э/м поле.2. С-ма ур-ний М представляет с-му линейных дифф. ур-ний в частных производных. Поэтому выполняется пр-п суперпозиции. Действительно, если явл. р-ем с-мы ур-ний М. при заданных то явл. в силу линейности решениями ур-ний М. при заданных В общем случае распределение зарядов и токи нельзя задавать произвольно, т.к э/м поле определяет характер движ. зарядов. Поэтому необходимо дополнить С-ма ур-ний М ур-ми движ. зарядов: или

Полную с-му ур-ний в дифф. форме, или в интегральной форме, часто наз. с-мой ур-ний Максвелла-Лоренца. Эта с-ма ур-ний описывает как э/м. поле в вакууме, так и движ. электрических зарядов, являющихся единственным источником э/м поля.Из ур-ния М. следует (1),где - векторный потенциал э/м поля. Подстановка выраж. (1) во 2-ое ур-ние М.:

приводит к дифференциальному ур-нию (2). Его р-е можно представить: (3), где φ – скаляр. потенциал э/м поля. Т.о, от век-ров э/м поля можно перейти к потенц. : , (4)

Однако выбор и при заданных неоднозначен. Если положить , где - произвольная ф-ция, то

т.е. - также отвечает заданному значению напряженности . Из (4) следует: Сделав замену или , получим Т.о, калибровочные преобразования (5) Не изменяют заданных векторных компонент электромагнитного поля и . Приведенное выше рассмотрение аналогично случаю микроскопической электродинамики с учетом замены вектора напряженности на вектор индукции . Воспользуемся материальными ур-ми (6),где ф-ции и – кусочно-непрерывны и могут терпеть разрыв только на границе раздела сред. Будем считать их постоянными. Получить ур-я для потенциалов можно из оставшихся ур-ний Максвелла: (7) Из 1-го ур-ния (7) имеем:

Отсюда следует 1ое ур-ние для потенциалов поля: (8) Оно справедливо при выполнении усл. Лоренца: (9) Из 2-го ур-ния (7) получим еще одно ур-ние для скалярного потенциала или (10) Из (10) с учетом усл. Лоренца следует: (11) Ур-ия (8) и (11) сводятся к соотв. ур-м микроскопической электродинамики заменами:

Поэтому р-е этих ур-ний для запаздывающих потенциалов можно записать сразу с учетом приведенных выше замен:

(12)

(13)

Введем - с-ть распространения э/м волны в в-ве. Обозначим: - абсолютный показатель преломления среды. Сл-но, ск-ть распространения э/м волны в в-ве 𝑣 .