41. Атом водорода. Волновые функции и уровни энергии. Квантовые числа.

Простейший из атомов, атом водорода явился своеобразным тест-объектом для теории Бора. Ко времени создания теории он был хорошо изучен экспериментально. Было известно, что он содержит единственный электрон. Ядром атома явл. протон – положительно заряженная ч-ца, заряд кот. =по модулю заряду электрона, а масса в 1836 раз превышает массу электрона. Еще в начале XIX века были открыты дискретные спектральные линии в видимой области излучения атома водорода (так называемый линейчатый спектр). Впоследствии закономерности, кот. подчиняются длины волн линейчатого спектра, были хорошо изучены количественно (Бальмер, 1885 г.). Совокупность спектральных линий атома водорода в видимой части спектра была названа серией Бальмера. Позже аналогичные серии спектральных линий были обнаружены в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. В 1890 году И. Ридберг получил эмпирическую формулу для частот спектральных линий: . Для серии Бальмера m = 2, n = 3, 4, 5, ... . Для ультрафиолетовой серии (серия Лаймана) m = 1, n = 2, 3, 4, ... . Постоянная R в этой формуле называется постоянной Ридберга. Ее численное значение R = 3,29·1015 Гц. До Бора механизм возникновения линейчатых спектров и смысл целых чисел, входящих в формулы спектральных линий водорода (и ряда др. атомов), оставались непонятными.Постулаты Бора определили направление развития новой науки – квантовой физ. атома. Но они не содержали рецепта определения параметров стационарных состояний (орбит) и соответствующих им значений энергии En.Правило квантования, приводящее к согласующимся с опытом значениям энергий стационарных состояний атома водорода, Бором было угадано. Он предположил, что момент импульса e, вращающегося вокруг ядра, может принимать только дискретные значения, кратные постоянной Планка. Для круговых орбит правило квантования Бора записывается в виде , (n=1,2,3..)

Здесь m_e – масса электрона, υ – его скорость, rn – радиус стационарной круговой орбиты. Правило квантования Бора позволяет вычислить радиусы стационарных орбит электрона в атоме водорода и определить значения энергий. Ск-ть e, вращающегося по круговой орбите некот. радиуса r в кулоновском поле ядра, как следует из второго з-на Ньютона, определяется соотношением где e – элементарный заряд, ε₀ – электрическая постоянная. Скорость электрона υ и радиус стационарной орбиты rn связаны правилом квантования Бора. Отсюда следует, что радиусы стационарных круговых орбит определяются выражением . Самой близкой к ядру орбите соответствует значение n = 1. Радиус первой орбиты, кот. наз. боровским радиусом, = 5,29*10^-11м. Радиусы последующих орбит возрастают пропорционально n2. Полная механическая энергия E системы из атомного ядра и электрона, обращающегося по стационарной круговой орбите радиусом rn, равна

Следует отметить, что Ep< 0, так как между электроном и ядром действуют силы притяжения. Подставляя в эту формулу выражения для υ2 и rn, получим: Целое число n = 1, 2, 3, ... называется в квантовой физике атома главным квантовым числом. Де Бройль предложил, что каждая орбита в атоме водорода соответств волне, распространяющейся по окружности около ядра атома. Стационарная орбита возникает в том случае, когда волна непрерывно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты. В стационарном квантовом состоянии атома водорода на длине орбиты должно укладываться по идее де Бройля целое число длин волн λ, т. е. nλ_n = 2πr_n. Подставляя в это соотношение длину волны де Бройля λ = h / p, где p = m_eυ – импульс электрона, получим: или .Т.о, боровское правило квантования связано с волновыми свойствами электронов. Атомы –квант системы, а энергетические уровни стационарных состояний атомов дискретны. Почти одновременно с созданием теории Бора было получено прямое эксперимент доказательство существования стационарных состояний атома и квантования энергии. Дискретность энергетических состояний атома была продемонстрирована в 1913 г., в опыте Д. Франка и Г. Герца, в котором исследовалось столкновение электронов с атомами ртути. Оказалось, что если эн. электронов меньше 4,9 эВ, то их столкновение с атомами ртути происходит по з-ну абсолютно упругого удара.

Если же энергия электронов равна 4,9 эВ, то столкновение с атомами ртути приобретает характер неупругого удара, т. е. в результате столкновения с неподвижными атомами ртути электроны полностью теряют свою кинетическую эн.. Это означает, то атомы ртути поглощают эн. электрона и переходят из основного состояния в первое возбужденное состояние, E2–E1 = 4,9 эВ. Согласно боровской концепции, при обратном самопроизвольном переходе атома ртуть должна испускать кванты с частотой . Спектральная линия с такой частотой действительно была обнаружена в ультрафиолетовой части спектра излучения атомов ртути. Кв. ф-ка не отменила фундаментальных классических з-нов сохранения энергии, импульса, электрического разряда и т. д. Энергетич спектр атома водорода. При больших квантовых числах n>>1 дискретные уровни постепенно сближаются, и возникает плавный переход в область непрерывного спектра, вытекающего из классической ф-ки. Представление Бора об определенных орбитах, по которым движутся e-ы в атоме, оказалось весьма условным. На самом деле движение e в атоме очень мало похоже на движение планет или спутников. Физ. смысл имеет только вероятность обнаружить e в том или ином месте, описываемая квадратом модуля волновой функции |Ψ|². Волновая функция Ψ является решением основного уравнения кв.мех-ки – ур-ния Шредингера. Оказалось, что состояние e в атоме характеризуется целым набором кв. чисел. Главное квантовое число n определяет квантование эн. атома. Для квантования момента импульса вводится так наз. орбитальное квантовое число l. Проекция момента импульса на любое выделенное в пространстве направление также принимает дискретный ряд значений. Для квантования проекции момента импульса вводится магн. квантовое число m. Квантовые числа n, l, m связаны определенными правилами квантования. Например, орбитальное квантовое число l может принимать целочисленные значения от 0 до (n–1). Магн. квантовое число m может принимать любые целочисленные значения в интервале ±l. Т.о, каждому значению главного квантового числа n, определяющему энергетическое состояние атома, соответствует целый ряд комбинаций квантовых чисел l и m. Каждой такой комбинации соответствует определенное распределение вероятности |Ψ|² обнаружения e в различных точках пр-ва («электронное облако»).Состояния, в кот. орбитальное квантовое число l=0, описываются сферически симметричными распределениями вероятности. Они наз. s-состояниями (1s, 2s, ..., ns, ...). При значениях l>0 сферическая симметрия электронного облака нарушается. Состояния сl=1 наз. p-состояниями, с l=2 – d-состояниями и т. д. Некот.квант. числа связаны с дв-нием в пр-ве и характеризуют пространственное распределение волновой ф-ции ч-цы. Это, например, радиальное (главное) (n_r), орбитальное (l) и магнитное (m) квантовые числа e в атоме, кот. определяются как число узлов радиальной волновой ф-ции, значение орбитального углового момента и его проекция на заданную ось, соответственно.Некот. др.квант. числа никак не связаны с перемещ. в обычном пр-ве, а отражают «внутреннее» состояние ч-цы. К таким квантовым числам относится спин и его проекция. В яд. физ. вводится также изоспин, а в физике элементарных ч-ц появляется цвет, очарование, прелесть и истинность.