48. Интегралы движения в кв. Мех. Элементы теории представлений.
Интегралом
движения, т.е. величиной, среднее значение
кот.не меняется с теч. времени в любом
сост., явл. физ. в-на, оператор кот.
коммутир с оператГамильт данной
сист.Знание интегралов движения
позволяет сформулировать соответ.
законы сохранения. Наличие интегралов
движения тесно связано со св-вами
пространства и времени. Общий вид
интеграла квантовых ур-й движений имеет
вид:
(1) Однородность времени. Вследствие
этого оператор Гамильтона любой
замкнутой системы, т.е. системы не
подверженной внешним воздействиям, и
системы, находящейся под действием
постоянных внешних полей, не зависит
явно от времени. Значит (1)=0. Если энергия
в нач. момент времени имела опред. зн-е,
то это знач сохранится и в последующее
время. однородность времени приводит
к закону сохранения энергии в кв.мех.
Однородность пр-ва проявл-ся в том, что
св-ва замкнутой системы не меняются
при любом параллельном переносе системы
как целого. Поскольку св-ва системы
опред-ся в кв.мех. оператором Гамильтона,
то однородность пр-ва д. проявл-ся в
том, что оператор Гамильтона остается
неизменным при параллельном смещении
системы на произвольное расстояние. В
этом случае инвариантность отн-но
пространственных смещений сводится к
закону сохранения полного импульса
системы. Изотропия пр-ва (эквивалентность
всех направлений) – проявл-ся в
инвариантности св-в замкнутых систем
отн-но произвольных поворотов. Такая
же инвариантность имеет место и для
систем, нах-ся в центр. – сим. полях,
если поворот осущ-сяотн-но центра поля.
Инвариантность оператора Гамильтона
по отношению к этим преобразованиям
приводит к законам сохранения импульса
и углового момента. Для изображения
сост. используем волн. ф-ю ψа(е, t), кот.
явл-я ф-ей совокупности коор-т е в опред.
момент времени t. Индексом а обозначают
набор зн-й физ. в-н или соответ. кв. чисел,
кот опр-т состояние. В связи с этим этот
индекс наз-т индексом сост-я. Описание
сост. с пом. волн.ф-и, зависящей от
координат, наз-т корд. представлением.
Квадрат модуля нормированной волн.ф-и
корд. представления опр-т плотность
вер-ти обнаружения в данном сост. опред.
зн-й корд-т е. Буква е, обозначающая
сов-тьзн-й переменных, от кот. зависит
волн. ф-я, наз-т индексом представления.
Рассмотрим виды представления:
энергетическое (Е-представление) – в
качестве базисных ф-й берут собств. ф-и
оператора Гамильтона, имеющего дискретный
спектр собств. зн-й. импульсное
(р-представление) - базисными ф-ми явл-ся
собств. ф-и оператора импульса.
46.Принцип причинности в кв. Мех. Временное уравнение Шредингера. Стационарные состояния.
При́нцип
причи́нности — один из самых общих
физических принципов. В квантовой
мех-ке состояния квантовых систем,
разделённых пространственноподобным
интервалом, также не обязаны быть
независимыми устанавливающий допустимые
пределы влияния событий друг на друга.
Состояние движения микрочастиц
описывается квантовой механикой. В ней
исходят из того, что микрообъект обладает
и корпускулярными и волновыми
св-ми(дуализм доказал де Бройль). Основным
ур-м кв.мех. явл-сяур-ние Ш., полученное
им из оптико-механической аналогии. Ш.
сопоставил движению частицы комплексную
ф-цию координаты времени, к-ю он обозначил
(х,y,z,t).
В общем случае волновая ф-ция представляет
собой суперпозицию волн де Бройля. При
этом он получил следующее ур-е(1):
где Н – оператор Гамильтона системы,
совпадающий с оператором энергии, если
он не зависит от времени. Вид оператора
опр-ся св-вами системы. Данное уравнение
наз-т временным ур-м Ш. Ур. (1) при известном
виде оператора Н позволяет определить
значение волновой функции
в любой момент времени, если известно
это зн-е в нач. момент времени. Т.о. ур-е
Ш. выражает принцип причинности в кв.
мех., т.е. поскольку ф-я
полностью описывает состояние системы,
это означает, что достаточно задать
нач. условия состояния системы, чтобы
все последующие состояния были
определены. Рассмотрим систему, у кот.
оператор Гамильтона не зависит от
времени, т.е.
.
После решения ур. Ш. мы получим волновую
ф-ю вида:
(3)
- эти волновые ф-и соответствуют
состояниям системы, в кот. эн. имеет
определенное зн-е. Такие состояния в
кв.мех. наз-т стационарными состояниями,
(3) – волновыми ф-ми стац. состояний.
Стац. состояния в кв.мех. обладают рядом
особенностей: 1. зависисмость волн.ф-й
стац. сост. системы от времени (3),
однозначно определяется значением
энергии в этом состоянии. 2. в стац. сост.
плотность вероятности и плотность тока
вероятности не зависят от времени.3. в
стац. сост. среднее зн-е любой физ. в-ны,
оператор кот.явно не зависит от времени,
явл-ся постоянным. Сами физ.в-ны могут
иметь опред. зн-е в стац. сост. В тех
случаях, когда их операторы коммутируют
с Н. 4. вероятность обнаружения опред.
зн-я любой физ. в-ны в стац. сост. не
зависит от вр-ни