3. Гамильтонова форма представления

Гамильтонова механика это одна из формулировок законов механики, в общем аналогичное законам Ньютона, но удобное для обобщений, использование в статистической физике и для перехода к квантовой механике.

Функция Гамильтона определяется через обобщенные координаты и обобщенные импульсы исходя из функции Лагранжа следующим образом. Обобщенные импульсы определяются, как Функция Гамильтона определяется согласно После этого все обобщенные скорости выражаются через обобщенные импульсы и координаты.

По своей сути функция Гамильтона является энергией системы, выраженной через координаты и импульсы. В случае стационарных связей и потенциальных внешних сил т.е. функция Гамильтона является суммой потенциальной и кинетической энергий, но при этом кинетическая энергия должна быть выражена через импульсы, а не через скорости. Уравнения эволюции динамической системы записываются в гамильтоновой механике в виде

Эти уравнения называются каноническими уравнениями Гамильтона. Они полностью определяют эволюцию системы с течением времени в том смысле, что зная значение обобщенных координат и скоростей в определенный начальный момент времени, можно определить их значение в любой последующий момент времени, решая данную систему уравнений. В квантовой механике оператор энергии строится по классической функции Гамильтона заменой обобщенных импульсов p_i на операторы импульса , Где – Сводная постоянная Планка. Такой оператор называется гамильтонианом, а процедура перехода от функции Гамильтона к гамильтониану называется процедурой квантования.

Гамильтониан является главным оператором в квантовой механике, поскольку входит в главное уравнения квантовой механики – уравнение Шредингера. В случае классического механического осциллятора (без трения) функция Гамильтона имеет следующий вид:

где k – коэффициент упругости, а m – масса частицы.

Первое дифференциальное уравнение, равное

из которого получаем выражение для импульса: Второе дифференциальное уравнение Гамильтона имеет вид: откуда уравнение движения:

или в стандартной форме:

уравнение Гамильтона — Якоби

Здесь S обозначает классическое действие, — классический гамильтониан, qi — обобщенные координаты.

Непосредственно относится к классической (не квантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

2.Лагранжева форма уравн механики

Механика Лагранжа – один из возможных формулировок классической механики, аналогичное по своей сути законам Ньютона.

В физике механика в формулировке Лагранжа оперирует с обобщенными координатами и скоростями и определяет законы эволюции механической системы, опираясь на принцип наименьшего действия. Механика в формулировке Лагранжа совершенно аналогична ньютоновских и выводится из него. Одновременно она является удобной при рассмотрении систем со связями. Например, при изучении колебаний маятника удобно записывать уравнения движения через угол отклонения от вертикали. Формализм Лагранжа позволяет простым образом получить и такие уравнения движения.

Для описания физической системы вводятся обобщенные координаты q_i и соответствующие обобщенные скорости . Функция Лагранжа определяется как L=T-U, где T и U – кинетическая и потенциальная энергия системы, соответственно. Уравнения движения записываются, как Эти уравнения, которые называют уравнениями Эйлера-Лагранжа, выводятся из принципа наименьшего действия.

В случае, когда в механической системе действуют непотенциальные силы уравнение движения принимает вид

где Q_i’–обобщенная непотенц сила.

В случае классич одномерного механического осциллятора (без трения) функция Лагранжа имеет следующий вид:

k – коэфф упругости.

Уравнения Лагранжа

L₀ – индуктивность и C₀ – емкость, LC-контура, а q – электрический заряд.

Функция Лагранжа в случае релятивистского движения свободной частицы с массой m имеет вид: где c – скорость света, а v – скорость частицы.