20. Коэффициент множественной детерминации. Скорректированный коэффициент детерминации.

Коэффициент множественной детер­минации характеризует, насколько процентов построенная модель регрессии объясняет раз­брос значений результативной переменной от­носительно ее среднего значения.

Коэффициент множественной детер­минации рассчитывается как квадрат коэффи­циента множественной корреляции:

R²(y, x₁ …x_i ) = ∑B_i^станд * r (yx_i)

Коэффициент множественной детерминации также называется количественной характеристи­кой объясненной построенной моделью множест­венной регрессии дисперсии результативной переменной. Чем больше значение коэффи­циента множественной детерминации, тем луч­ше модель регрессии описывает анализируе­мую взаимосвязь между переменными.

Коэффициент множественной детерминации можно также рассчитать на основании теоремы о разложении сумм квадратов.

Сумма квадратов разностей между значения­ми результативной переменной и ее средним значением по выборке может быть представле­на следующим образом:

∑ (y_i – y_ср)² =∑(y_i - y_i˜)² +∑( y_i˜ - y_ср)²

∑ (y_i – y_ср)² — общая сумма квадратов модели множественной регрессии с п пере­менными (Total Sum Square — TSS);

∑(y_i - y_i˜)² — сумма квадратов остатков модели множественной регрессии с п переменными (Error Sum Square — ESS);

∑( y_i˜ - y_ср)² — сумма квадратов объясненной регрессии модели множественной регрессии с n переменными (Regression Sum Square — HSS).

Коэффициент множественной детер­минации, рассчитанный через теорему о раз­ложении сумм квадратов:

R²(y, x₁ …x_i ) = 1- ESS/TSS

Скорректированный коэффициент детерминации

Иногда его также называют «ис­правленным» коэффициентом R², хотя это определение не означает, по мне­нию многих, что такой коэффициент улучшен по сравнению с обычным.

Воздействие на качество дополнительно включенной в модель регрессии факторной пере­менной не всегда можно определить с помощью обычного коэффициента множественной детер­минации. Для этой цели рассчитывается скор­ректированный (adjusted) коэффициент множественной детерминации, в котором учитывается количество факторных переменных.

Как отмечалось выше, при добавлении объясняющей переменной к уравнению регрессии коэффициент R² никогда не уменьшается, а обычно уве­личивается. Скорректированный коэффициент R², который обычно обозначают , обеспечивает компенсацию для такого автоматического сдвига вверх пу­тем наложения «штрафа» за увеличение числа независимых переменных. Этот коэффициент определяется следующим образом:

где k — число независимых переменных. По мере роста k увеличивается отно­шение k/(n — k— 1) и, следовательно, возрастает размер корректировки ко­эффициента R² в сторону уменьшения.

Можно показать, что добавление новой переменной к регрессии приведет к увеличению R , если и только если соответствующая t-cтатистика больше единицы (или меньше -1). Следовательно, увеличение при добавлении новой переменной необязательно означает, что ее коэффициент значимо отличается от нуля. Поэтому отнюдь не следует, как можно было бы предпо­ложить, что увеличение означает улучшение спецификации уравнения.

Это является одной из причин того, почему не стал широко использо­ваться в качестве диагностической величины. Другая причина состоит в умень­шении внимания к самому коэффициенту R². Ранее среди экономистов наблю­далась тенденция рассматривать коэффициент R² в качестве основного инди­катора успеха в спецификации модели. Однако на практике, как будет показа­но в следующих главах, даже плохо определенная модель регрессии может дать высокий коэффициент R², и признание этого факта привело к снижению зна­чимости R². Теперь он рассматривается в качестве одного из целого ряда диаг­ностических показателей, которые должны быть проверены при построении мо­дели регрессии.