41. Модели авторегрессии как эквивалентное представление моделей с распределенными лагами.

Особенности моделей с распределенным лагом и авторегрессии

Существует специфика в построении моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии . Таких особенностей три. Первая — это невозможность оценки параметров моделей авторегрессии, а весьма часто и моделей с распределенным лагом с помощью обычного МНК. Это вызвано нарушением условий применимости МНК .Вторая особенность заключается в необходимости решения проблемы выбора оптимальной величины лага и определения структуры лага. Наконец, третья особенностьсостоит в том, что между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии имеется определенная взаимосвязь. А в некоторых случаях из-за этого необходимо переходить от одного типа моделей к другому.

Ранее уже приводились некоторые начальные основные понятия и соответствующие определения, относящиеся к моделям с распределенным лагом. Но ввиду их важности и полноты изложения имеет смысл здесь их напомнить, прежде чем двигаться дальше. Сначала рассмотрим модель с конечной максимальной величиной лага. Это будет общая модель с распределенным лагом. В такой модели, когда происходит изменение независимой переменной х в некоторый момент времени t, такое изменение будет влиять на значения переменной у в течение k последующих моментов времени. Коэффициент при значении фактора х в момент времени t будет характеризовать среднее абсолютное изменение результативной переменной у в момент времени t при изменении фактора х в момент времени t на единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Он называется краткосрочным мультипликатором .

Частные промежуточные суммы, получаемые в результате сложения коэффициентов при различных значениях фактора х в различные моменты времени и выражающие в момент (t + 1) совокупное воздействие факторной переменной х в момент t на результативную переменную у и т.п., называются промежуточными мультипликаторами. Последняя, самая большая из таких сумм имеет тот же смысл, но выделяется особым названием — долгосрочный мультипликатор .

Частные от деления коэффициентов bj на b называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом . Если все эти коэффициенты имеют одинаковые знаки, то все они расположены в интервале между нулем и единицей. Полная сумма же всех этих коэффициентов равна единице. Сами относительные коэффициенты при этом имеют смысл весовых коэффициентов. Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени (t + j).

По этим величинам определяют еще две важные характеристики модели множественной регрессии . Одна из них — это величина среднего лага , другая — медианного лага . Первая величина представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Вторая (медианный лаг) — это период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована 1/2 общего воздействия фактора на результат.

С экономической точки зрения вполне справедливо считать все коэффициенты при текущем и лаговых значениях исследуемого фактора имеющими одинаковые знаки. Воздействие одного фактора на результат должно быть однонаправленным независимо от того, с каким временным лагом измеряется сила или теснота связи между этими признаками. Правда, практически построение модели, точно удовлетворяющей этому условию, не столь уж просто.

Основные проблемы, препятствующие применению обычного МНК , таковы. Поскольку текущие и лаговые значения независимой переменной чаще всего тесно связаны друг с другом, то параметры модели оцениваются в условиях мультиколлинеарности факторов. Далее, при большой величине лага уменьшается число наблюдений, по которому строится модель, и увеличивается число факторных признаков, так что происходит потеря числа степеней свободы . Наконец, в моделях с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции остатков. Поэтому происходит увеличение неопределенности оценок параметров модели до значительного уровня. Также происходит снижение точности оценок и не достигаются эффективные оценки. При этих условиях невозможно выявить чистое влияние факторов на результат.

Вследствие всего сказанного, на практике параметры моделей с распределенным лагом оценивают, предполагая, что имеются определенные ограничения на коэффициенты регрессии и на выбранную структуру лага. Модель с авторегрессией , подобно модели с распределенным лагом, с помощью коэффициента b0 при факторе xt характеризует краткосрочное изменение результата уt под воздействием изменения xt на 1 единицу. Но промежуточные и долгосрочный мультипликаторы в моделях авторегрессии несколько отличаются. Не вдаваясь в достаточно простые разъяснения, укажем сразу, что долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии можно рассчитать просто как сумму краткосрочного и промежуточных мультипликаторов. Правильно считая их и учитывая, что практически во всех моделях авторегрессии вводится так называемоеусловие стабильности (коэффициент регрессии при переменной yt менее 1), получаем, что долгосрочный мультипликатор равен дроби, числитель которой — это краткосрочный мультипликатор , а знаменатель — единица, из которой вычтен как раз тот самый коэффициент регрессии. Впрочем, такая интерпретация и расчеты основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.

Для оценки лаговой структуры зависимостей имеется несколько методов, которые позволяют ограничить число объясняющих (факторных) переменных в уравнении регрессии. Это рациональный способ преодоления (или обхода) проблемы мультиколлинеарности , в крайнем случае таким образом удается минимизировать ее эффект. Наиболее известными из таких методов являются использование распределения Койка и применение лагов Алмон .

В распределении Койка предполагается, что относительные коэффициенты (веса) при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии. Тогда регрессия описывается всего тремя параметрами. Для их оценки уже не нужно оценивать в целом все исходное уравнение регрессии. Если бы требовалось выполнять такое оценивание в полном объеме, то возникли бы проблемы мультиколлинеарности. Да и к тому же из полученных оценок не удалось бы вывести значения двух из трех определяемых параметров.

Преодоление этих и иных подобных сложностей достигается с помощью нелинейного МНК. Оставим для ознакомления с ним желающих наедине с прекрасной книгой Доугерти «Введение в эконометрику». Есть и иной способ, который называется преобразованием Койка . Его суть заключается в том, что используется справедливость представления в виде геометрической прогрессии не только текущего значения результата, но и его предшествующего значения. Это позволяет умножением на параметр, представляющий коэффициент геометрической прогрессии, и почленным вычитанием результата такого умножения на предыдущее уравнение для текущего значения результата получить уравнение без лаговых значений фактора х. В нем присутствуют уже только два параметра.

Более того, такая форма зависимости предоставляет возможность анализа кратко- и долгосрочных динамических свойств модели. Стандартным для подобных технологий предельным переходом удается находить равновесный уровень и определять долгосрочное воздействие фактора на результат. Это позволяет также сравнивать соотношение между величиной долгосрочного и краткосрочного воздействия.

К сожалению, в методе Койка нарушается четвертое условие Гаусса — Маркова : одна из лаговых (объясняющих) переменных частично коррелирует с одной из составляющих случайного члена. Поэтому оценки по МНК оказываются смещенными и несостоятельными. В этом случае приходится использовать более сложный, нелинейный МНК .

В экономике, особенно в макроэкономике, весьма важна задача моделирования ожиданий. Известно, что инвестиции, сбережения и спрос на активы чувствительны к ожиданиям (прогнозам). В настоящее время для решения сложной задачи моделирования ожиданий отсутствуют достаточно эффективные методы их измерения для решения макроэкономических задач.