Линеаризация регрессионных моделей путем логарифмических преобразований.
Соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными моделями, т.к. при этом могут возникнуть недопустимые ошибки. Нелинейными оказываются производственные функции, функции спроса и т.д.
Для оценки параметров нелинейных моделей, как правило, используют линеаризацию модели, которая заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными. Если не удается подобрать соответствующее линеаризующее преобразование, то применяют методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.
Различают два класса нелинейных регрессионных моделей:
- модели, нелинейные относительно фактора, но линейные по параметрам;
- модели нелинейные по параметрам.
Модели, нелинейные относительно факторов, но линейные по параметрам. Введением новых переменных такую модель можно свести к линейной, для оценки параметров которой используется обычный метод наименьших квадратов.
Рассмотрим примеры линеаризующих преобразований:
1) Полиномиальная
модель: 
.
Соответствующая
линейная модель: 
,
где 
.
2) Гиперболическая
модель: 
.
Соответствующая
линейная модель: 
,
где 
.
3) Логарифмическая
модель: 
.
Соответствующая
линейная модель:
,
где 
.
Следует отметить и недостаток такой замены переменных, связанный с тем, что вектор оценок получается не из условия минимизации суммы квадратов отклонений для исходных переменных, а из условия минимизации суммы квадратов отклонений для преобразованных переменных, что не одно и то же.
Полиномами второго порядка описывается зависимость урожайности от количества внесенных удобрений. Гиперболическая модель может быть использована для характеристики связей между нормой безработицы и процентом прироста заработной платы (кривая Филлипса). Логарифмическая модель может быть использована для описания доли расходов на товары длительного пользования (кривая Энгеля) в зависимости от общих сумм расходов.
Модели нелинейные по параметрам. Среди таких моделей выделяют нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели, внутренне нелинейные. Модели внутренне линейные можно привести к линейному виду с помощью соответствующих преобразований.
Примеры внутренне линейных моделей и их линеаризация:
1) Мультипликативная
степенная модель: 
.
Линеаризующее преобразование:
или
,
где
.
2) Экспоненциальная
модель: 
.
Линеаризующее
преобразование: 
.
3) Обратная
регрессионная модель: 
.
Линеаризующее
преобразование: 
.
К моделям, полученным после проведения линеаризующих преобразований можно применять обычные методы исследования линейной регрессии. Но поскольку в них присутствуют не фактические значения изучаемого показателя, то оценки параметров получаются несколько смещенными. При анализе линеаризуемых функций регрессии, следует особенно тщательно проверять выполнение предпосылок метода наименьших квадратов.