8. Критерий и критическая область.

Событие А называется критическим для гипо­тезы Н, или критерием для Н. Если Р(А \ Н) < ε, то ε называют гарантированным уровнем значимости критерия А для Н.

Обычно для построения критического мно­жества используется следующий подход. Пусть Т — некоторая функция на множестве X, принимающая числовые значения. Мы будем называть Т статистикой критерия. Как правило, статистику Т выбирают та­ким образом, чтобы ее распределения при гипотезе и при альтернативе как можно более различались (в случае, если множества распределений Н и Н’ «касаются» друг друга — чтобы различие в распределениях Т было как можно большим по мере удаления истинного распределения наблюдений от гипотетического). При таком выборе статистики Т обыч­но некоторые значения Т (например, слишком большие или слишком малые) являются нетипичными при гипотезе и типичными при альтер­нативе. Поэтому для построения критического множества А выбирают некоторое множество вещественных чисел А’ (множество «нетипичных» при гипотезе значений статистики Т), и полагают множество А как

Это множество будет критическим для гипотезы на уровне тахр_енР(А). Поскольку множество А полностью определяется по А', множество А' тоже называют критическим.

Правосторонней критической областью для проверки нулевой гипотезы с уровнем значимости  называется совокупность значений критерия проверки Z, для которых выполняется равенство: P(Z > ) = , где - некоторое число, называемое границей критической области.

Левосторонней критической областью для проверки нулевой гипотезы с уровнем значимости  называется совокупность значения критерия проверки Z, для которых выполняется равенство: P(Z < - ) = 

Двусторонней критической областью для проверки нулевой гипотезы с уровнем значимости  называется совокупность значений критерия проверки Z, для которых выполняется равенство: P( < Z < ) = .

9. Мощность статистического критерия. Уровень значимости.

Ошибки первого и второго рода. При проверке статистических гипотез возможны ошибочные заключения двух типов:

• отвержение гипотезы в случае, когда она на самом деле верна;

• неотвержение (принятие) гипотезы, если она на самом деле неверна.

Эти возможности называются соответственно ошибками первого рода и ошибками второго рода.

Из-за различного подхода к гипотезе и альтернативе, наше отно­шение к ошибками первого и второго рода также неодинаково. При . построении статистических критериев мы фиксируем максимальную до­пустимую вероятность ошибки первого рода (то есть уровень значи­мости критерия), и стремимся выбрать критическое множество таким образом, чтобы минимизировать вероятность ошибки второго рода (или хотя бы сделать так, чтобы эта вероятность была как можно меньше по мере удаления истинного распределения от гипотетического или гипотетических).

Мощность критерия. Обозначим через β вероятность ошибки вто­рого рода статистического критерия. Если альтернативная гипотеза является сложной, то эта вероятность, естественно, зависит от выбора конкретного альтернативного распределения. Если мы рассматриваем альтернативы из какого-либо параметрического семейства распределе­ний Р_θ, значение (β также можно считать функцией отθ .

Величину 1 - β обычно называют мощностью критерия. Ясно, что мощность критерия может принимать любые значения от 0 до 1. Чем ближе мощности критерия к единице, тем более эффективен (бо­лее «мощен») критерий. Многие известные статистические критерии получены путем нахождения наиболее мощного критерия при заданных предположениях о гипотезе и альтернативе