26. Модели с постоянной эластичностью. Производственная функция Кобба - Дугласа.

Степенные производственные функции были предложены в двадцатых годах нашего столетия К. Коббом и П. Дугласом для описания связи между объемом общественного продукта и двумя важнейшими ресурсами — трудовыми ресурсами и основными производственнымифондами. В настоящее время степенные производственные функции используются для моделирования широкого класса экономических систем.

Функция, предложенная американцами Коббом и Дугласом, исследует зависимость величины созданного общественного продукта от двух важнейших факторов: совокупных затрат живого труда (в материальном производстве) и суммарного объема применяемых производственных фондов. Она имеет следующий вид:

Производственная функция — это экономико-математическая модель, позволяющая аппроксимировать зависимость результатов производственной деятельности предприятия.

Общий вид производственной функции Кобба—Дугласа f(x_i): f(x_i) = aПх_i^ai

где а — числовой параметр производственной функции;

х — i-тый аргумент или i-ая факторная переменная производственной функции;

а_i—показатель степени i-ой факторной переменной производственной функции.

Двухфакторная производственная функция Кобба—Дугласа f{K,L): Q = А * K^a * L^b,

где Q (результативная переменная) — объем выпущенной продукции (в стоимостном или натуральном выражении); К (факторная переменная) — объем основного капитала или основных фондов;

L (факторная переменная) — объем трудовых ресурсов (измеряемый количеством рабочих) или трудовых затрат (измеряемый ко­личеством человекодней).

А, а, b — неизвестные числовые параметры функции, на которые накладываются опре­деленные условия: 0 <а< 1,0 <b< 1, A >0, a+b = 1.

Параметр А двухфакторной производственной функции Кобба—Дугласа зависит от единиц измерения результативной и факторных переменных.

На основании условия а +d = 1 двухфакторную производственную функцию Кобба—Дугласа можно записать следующим образом: Q = A*K ^a *L ^1-a.

27. Модель с постоянными темпами роста (полулогарифмическая модель).

Полулогарифмическими моделями являются модели вида (в случае парной регрессии):

(3.7)

(3.8)

Лог-линейная модель

Рассмотрим известную в банковском анализе зависимость:

(3.9)

где – первоначальный вклад в банке; – процентная ставка; – вклад в банке в момент времени .

Прологарифмировав обе части (3.9): и введя обозначение , , а также введя случайное слагаемое , получаем модель вида (3.7):

Полулогарифмическая модель (3.7) легко сводится к линейной модели путем замены , т.е. .

Коэффициент в (3.7) имеет смысл темпа прироста переменной по переменной . Действительно, продифференцировав обе части (3.7), получаем:

Линейно-логарифмическая модель

Линейно-логарифмическая модель (3.8) сводится к линейной модели путем замены: , т.е.:

(3.10)

Коэффициент в (3.8) определяет изменение переменной вследствие единичного относительного прироста . Действительно, продифференцировав обе части (3.8), получаем: