48. Системы эконометрических уравнений с лаговыми переменными.

В моделях временных рядов (yt=f(xt)) переменная yt может быть связана не только со значениями объясняемых переменных х в момент времени t, но и с их значениями в предыдущий момент времени. Так, например, потребление товаров длительного пользования зачастую зависит не только от доходов текущего, но и предыдущих периодов. Аналогично величина основных производственных фондов зависит от размеров инвестиций не только текущего года, но и предыдущих лет. В этом случае строятся модели с лаговыми переменными. Например, ct=a+b1yt+b2y(t-1)+Et, где

ct – потребление в период времени t;

yt – доход в период времени t;

y(t-1) – доход в предыдущий период t-1.

В данной модели лаговой является переменная y(t-1), то есть доход за предыдущий период времени. Возможна ситуация, когда объясняющая переменная x влияет на результат y не сразу же, а с определённым запозданием во времени, превышающим один временной интервал. Так, выпуск специалистов высшей квалификации зависит от приёма в ВУЗы четырёх- пятилетней давности.

Объясняющие переменные, взятые в модель регрессии, с запаздыванием во времнеи, называются лаговыми переменными. Величина запаздывания лага называется лагом. Так, в модели yt=a+bx(t-4)+xt лаговая переменная взята с лагом, равным 4.

Вместе с тем в правой части модели лаговой может быть и зависимая переменная. Например, спрос на товар может зависеть не только от дохода, но и от достигнутого спроса на него в предыдущий период времени. Или ставка банковского кредита может зависеть не только от объёма денежной массы в наличии, но и от достигнутого ранее процента банковского кредита. В этом случае строятся модели с лаговой зависимой переменной. Например, Ct=a+b1yt+b2C(t-1)+Et, где

Сt – потребление в период времени t;

yt – доход в период времени t;

С(t-1) – потребление в предыдущий период времени t-1.

Модели регрессии по временным рядам с лаговыми переменными принято называть динамическими моделями. Их модно подразделить на три класса:

1) модели с лаговыми объясняющими переменными, или, иначе, модели с распределёнными лагами: yt=a+b0xt+b1x(t-1)+…+bkx(t-k)+Et;

Модели с лаговыми зависимыми переменными – модели авторегресси: yt=a+bxt+c1y(t-1)+…+cky(t-k)+Et$

3) модели с лаговыми зависимыми и независимыми переменными, то есть авторегрессионные модели с распределёнными лагами: yt=a+b1y(t-1)+…+bky(t-k)+c0xt+c1x(t-1)+…+ckx(t-k)+Et.

Центральным вопросом при построении моделей с лаговыми переменными является выбор величины лага и числа лаговых переменных. Теоретически трудно определить величину лага. Определённую помощь может оказать взаимная корреляционная функция: рассчитывается множество коэффициентов корреляции между уровнями временных рядов (yt) и (xt), сдвинутыми относительно друг друга на последовательно увеличивающиеся интервалы времени. Величина лага определяется по максимальному значению коэффициента корреляции.

Выбор величины лага и количества лагов проводится обычно экспериментально: строятся модели с разным числом лагов и их величиной и изучается значимость коэффициентов регрессии при лаговых переменных; останавливаются на модели, для которой все коэффициенты регрессии при лаговых переменных будут статистически значимы по t-критерию Стьюдента.

Построение моделей с лаговыми переменными имеет свою специфику. Дело не только в выборе величины лага и их числа. Во многих случаях оценка параметров модели не может быть проведена с помощью традиционного МНК ввиду нарушения ряда его предпосылок и требует специального метода оценивания . При наличии двух или более лаговых переменных возникает проблема мультиколлинеарности факторов, ибо, как правило, xt, x(t-1), x(t-2),…, x(t-k) или y(t-1), y(t-2),…, y(t-k) связаны между собой, особенно при наличии тенденции в рядах динамики. Это снижает точность оценок коэффициентов при лаговых переменных и требует видоизменять приёмы оценивания.