Глава 3. Теория поверхностей §1. Понятие поверхности.

Определение. Элементарной поверхностью называется множество   E³, гомеоморфное некоторой области U на плоскости. Гомеоморфизм r: U ^–  называется параметризованной поверхностью или параметризацией элементарной поверхности .

Н аглядно это можно представить так. Мы плоскую область помещаем в пространство с помощью гомеоморфизма r; при этом она непрерывно деформируется без склеиваний.

Подчеркнем, что элементарная поверхность – это множество, а параметризованная – это отображение.

В пространстве можно ввести координаты (x, y, z), а в области U – координаты (u, v) (не обязательно декартовы). Тогда отображение r можно записать в виде

x = x(u, v),

y = y(u, v), (1)

z = z(u, v),

или

r;\s\up8(((u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.

Таким образом, r;\s\up8(((u, v) представляет собой вектор-функцию двух аргументов. Согласно нашей договорённости об отождествлении, можем считать, что она задаёт как произвольную точку M(x, y, z) на поверхности, так и её радиус вектор r;\s\up8(( = OM;\s\up10( –(. Координаты в пространстве могут быть сферическими или цилиндрическими, но мы ограничимся рассмотрением только декартовых координат. Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями поверхности . Систему (1) можно переписать в виде одного векторного равенства: r;\s\up8(( = r;\s\up8(((u, v).

У вектор-функции двух аргументов, как и у обычной функции двух аргументов можно вычислять частные производные. Их принято обозначать без штрихов: r;\s\up8((_u= r;\s\up8((/u, r;\s\up8((_v= r;\s\up8((/v. Примем без доказательства, что эти производные можно вычислять покоординатно:

r;\s\up8((_u = (x_u , y_u, z_u), r;\s\up8((_v= (x_v , y_v, z_v).

Также мы можем вычислять частные производные второго порядка и смешанные производные:

r;\s\up8((_uu= (x_uu, y_uu, z_uu), r;\s\up8((_uv= (x_uv , y_uv , z_uv)), r;\s\up8((_vv= (x_vv, y_vv, z_vv).

Определение. Говорим, что вектор-функция r;\s\up8(( (u, v) двух аргументов принадлежит классу Cⁿ(U ), если она определена в области U, и у неё на этой области существуют все частные и смешанные производные вплоть до порядка n включительно, и они непрерывны.

В дальнейшем, стрелку над обозначением параметризованной поверхности ставить не будем.

Пусть  – элементарная поверхность, а r:U ^–  – её параметризация. Каждая точка M имеет координаты в пространстве: M(x, y, z). Такие координаты точки называются внешними. Кроме того, мы можем ввести на поверхности внутренние координаты. Если P(u_o, v_o) U и M = r(P) , то точке M приписываются тоже координаты (u_o, v_o).

Определение. Линии на области U, которые определяются уравнениями вида

u = u_o= const, или v = v_o= const, (2)

называются координатными линиями. Они образуют координатную сеть. Отображение r переводит их в линии на поверхности , которые тоже называются координатными. Относительно внутренних координат на поверхности они определяются теми же самыми уравнениями (2). Эти линии образуют на координатную сеть на поверхности .

П ример 1. Уравнения

x = a cos u cos v,

y = a sin u cos v,

u

z = a sin v,

u (0,2), v(–/2, /2),

з адают сферу, но не всю, а с разрезом по меридиану. Внутренние координаты точки на сфере – это ее долгота и широта.

Координатные линии на сфере – это параллели и меридианы. Они образуют координатную сеть.

Определение. Параметризованная поверхность r: U ^–  называется регулярной, если rC¹(U ) и r_u ((;\s\do2( ∕ r_v

₍ r_u r_{v } o;\s\up8(–(  | r_u r_{v|  0 ) на всей области} U_{. Точки, в которых регулярность нарушается называются особыми точками поверхности.}

О пределение. Элементарная поверхность  называется гладкой класса Cⁿ, если у неё существует регулярная параметризация класса Cⁿ.

Пример 2. Параметризованная поверхность r(u, v) = (u², u³, v), uR, vR задает элементарную поверхность, которая называется «цилиндр на полукубической параболе». Вектор-функция r(u, v) является дифференцируемой класса C^. Тем не менее, элементарная поверхность имеет излом. Точкам, которые лежат на ребре соответствует значение параметра u = 0. Имеем r_u(2u, 3u², 0), r_u(0, v) = o;\s\up8(–(  r_u || r_v при u = 0.

Из теоремы 2 §2 следует, что гладкая регулярная параметризованная поверхность задает элементарную поверхность без изломов.

Заметим, что параметризованные поверхности r(u, v) = (u², u³, v), u (0, +) , v  R и g(s, t ) = (e^2s, e^3s, 2t +5), sR, tR задают в пространстве одну и ту же элементарную поверхность: половину полукубической параболы. Очевидно, что вторая поверхность получается из первой в результате подстановки u=e^s, v=2t+5. Это приводит нас к понятию замены параметров.

Пусть  – элементарная поверхность, r : U ^–  – её параметризация, V – еще одна область на плоскости, а : V ^– U – биекция. Тогда

м ы можем рассмотреть параметризованную поверхность

g = r:V ^– .

Она задает ту же самую элементарную поверхность .

Пусть на U и V заданы соответственно координаты (u, v) и (s, t). Тогда отображение  можно записать в координатах:

v = v(s (4)

Получим, что g(s, t) = r(u(s, t), v(s, t)). Обозначим

J = –

матрица Якоби отображения . Её определитель det J называется Якобианом отображения . Говорим, что  является допустимой заменой или допустимым изменением параметров, если det J  0 на всей области V. Примем без доказательства, что |g_sg_t| ₌ | det J| · | r_u r_v| . Это означает, что допустимая замена параметров сохраняет регулярность поверхности; т.е. параметризованная поверхность g будет регулярной тогда и только тогда, когда поверхность r регулярная и замена  допустимая.

Рекомендуется также рассмотреть пример замены параметра в §9. В дальнейшем, если не оговорено противное, все рассматриваемые пути и параметризованные поверхности предполагаются регулярными.

Не любую из известных поверхностей можно получить в результате топологического отображения плоской области. Например, сфера не является элементарной поверхностью. Поэтому необходимо следующее определение.

Определение. Простой поверхностью называется множество E³, обладающее следующим свойством: у каждой точки M существует окрестность V, являющаяся элементарной поверхностью.

П римеры. 3. В §4 главы 1 мы показали, что достаточно удалить из сферы одну точку, и оставшаяся часть будет гомеоморфна плоскости. Значит, сфера является простой поверхностью.

4 . Аналогично, бесконечный круговой цилиндр является простой поверхностью: если удалить из цилиндра одну образующую, то оставшуюся часть можно «развернуть» на плоскость.

5. Тор является простой поверхностью. Если удалить окружности ₁ и ₂, то оставшаяся часть будет гомеоморфна прямоугольнику без границы.