Теорема 6. Регулярная кривая  класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой  , то

||  . (13)

Доказательство. Поскольку кривая регулярная, мы можем задать её с помощью естественной параметризации c(s). Тогда c; ·  o;\s\up7(( . В тех точках, где k  0 выполнено c; ·· o;\s\up7((, а при естественной параметризации c; ·· c; ·, значит в этих точках однозначно определена соприкасающаяся плоскость как параллельная этим векторам.

Пусть Р=c(s), Q=c(s+s) – две точки на кривой , (s) и (s+∆s) – единичные векторы бинормали в этих точках, а  – угол между ними. Также как и в доказательстве теоремы 4,

| (s+∆s) – (s)| = 2sin ,  =  ,

Перейдем в этом равенстве к пределу при s  0

|b;·(s)| = lim;∆s(0· lim;∆s(0= 1·|| ,

т.к. при s0 также и  0. Итак, ||= |b;· (s)| .

Т.к. | (s)| = 1, то (s)· (s)  1. Продифференцировав это тождество, получим

2b;·· = 0  b;·  .

Потом,   . Продифференцируем это равенство:

b;· = (;·  +   (;·.

Но = c; ·  (;· =c; ·· ||   (;·   o;\s\up7((. Значит, b;· = (;·  b;·   . Но мы выяснили уже, что b;·  . Значит, b;· ||  и косинус угла между ними равен 1, а также ||=1.Поэтому

|b;··|= |b;·||||cos (b;·,)| = |b;·|=||.

Итак, ||= |b;··| (_*).

Мы знаем, что

  = = , b = = .

Находим, что

b;· = ( )^_s c; ·´c; ·· + (c; ·´c;··· + c; ··´c; ·· ) = ( )^_s c; ·´c; ·· + (c; ·´c;··· ),

т.к. c; ··´c; ·· = o;\s\up7(( . Подставим это в (_*):

||= |(( )^_s c; ·´c; ·· + (c; ·´c;··· )) · |=|( )^_s c; ·c; ··c; ·· + c; · c;···c; ·· |= ,

т .к c; ·c; ··c; ··= 0, и при перестановке сомножителей модуль смешанного произведения не изменяется.

Придадим теперь кручению знак, чтобы выполнялось

= . (14)

Это и есть формула для вычисления кручения, если кривая задана уравнением с естественным параметром.

Пусть кривая задана уравнением с произвольным параметром. Тогда кручение вычисляется по формуле

= (15)

(без доказательства).

Теорема 7. Если кручение кривой тождественно равно нулю всюду, то эта кривая – плоская линия (без доказательства).

При этом, плоскость в которой она лежит, очевидно, является её соприкасающейся плоскостью. Для того, чтобы составить её уравнение, достаточно составить уравнение соприкасающейся плоскости в любой фиксированной точке на кривой,

г де эта кривая регулярна и k  0. При этом равенство кручения нулю предполагает его существование, а значит предполагает, что k  0. Если в точке A выполнено k = 0, то в этой точке кривая может переходить из одной плоскости в другую

В процессе доказательства теоремы 6 мы выяснили, что

(;· =c; ··   , |c; ··| = k  (;· = k  .

Также b;· ||  , ||= |b;· (s)| , и мы убрали модуль в формуле (1) так, что

=–b;· ·   b;· =– .

Итак, мы уже знаем производные (;· и b;·. Найдем (;· :

 = ´  (;· = b;·´´(;· = –´´ k  = –(–)k (–).

Запишем все формулы вместе:

(;· = k ,

(;· = – k   , (16)

b;· = – .

Они называются формулами Френе.

Из этих формул и теорем о существовании и единственности решений систем дифференциальный уравнений вытекает основная теорема теории кривых.

Теорема 8. Если на некотором интервале IR заданы непрерывная функция s и гладкая функция k(s)>0, то существует кривая  класса С², для которой s будет естественным параметром, k – кривизной, а  – кручением. Такая кривая определяется однозначно с точностью до положения в пространстве, т.е. любые две такие кривые совмещаются движением.

Т аким образом, кривизна и кручение полностью определяют форму кривой, но толь­ко при условии, что k(s)0 на всей кривой. Для того, чтобы определить положение кривой в пространстве надо задать к системе (12) начальные данные, а именно, начальные векторы (0), (0), (0) и начальную точку кривой O=c(0), т.е. надо задать ортонормированный репер. Если кривая задается с помощью другого ортонормированного репера {O, , , }, то его можно совместить с первым репером с помощью движения, и тогда совместятся и задаваемые этими реперами кривые.