§5. Главные направления, главные кривизны, гауссова и средняя кривизна.

С помощью выбора ортонормированного базиса любую квадратичную форму в евклидовом пространстве можно привести к диагональному виду. Значит, с помощью выбора ОНБ {e1;\s\up8((, e2;\s\up8((} в касательной плоскости  к поверхности  в данной точке P, мы можем привести II квадратичную форму к диагональному виду:

II((;\s\up9( (,(;\s\up9( () = ₁₁² +₂ ₂² . ()

Поскольку базис является ортонормированным, то

I((;\s\up9( (, (;\s\up9( () = (;\s\up9( (· (;\s\up9( ( = ₁² + ₂² .

О бозначим S ¹ = {(;\s\up9( ( | ^| (;\s\up9( ( ^| = 1} – множество всех единичных векторов из касательной плоскости (их концы образуют окружность). Тогда для (;\s\up9( ( S¹ выполнено

I((;\s\up9( (, (;\s\up9( ()= (;\s\up9( ( · (;\s\up9( ( = 1.

Пусть  – угол между векторами e1;\s\up8(( и (;\s\up9( (, а k() – нормальная кривизна поверхности в направлении вектора (;\s\up9( (. Тогда ₁= | (;\s\up9( ( | cos , ₂ = | (;\s\up9( ( | sin  . Подставляя это в (), получаем

k() = ₁cos² + ₂sin² . (16)

Эта формула называется формулой Эйлера. Из нее вытекает, что максимум и минимум функции k() – это ₁ и ₂ , и достигаются они при  = 0 и  = /2, т.е. в направлении векторов e1;\s\up8(( и e2;\s\up8(–( .

Определение. Числа ₁ и ₂ называются главными кривизнами поверхности  в точке P, а направления векторов e1;\s\up8(–( и e2;\s\up8(( называются главными направлениями поверхности в точке P. Величина K = ₁· ₂ называется гауссовой кривизной, а H = (₁+ ₂ ) – средней кривизной.

Согласно теореме Виета ₁ и ₂ являются корнями квадратного уравнения

² – 2H + K = 0. (17)

Таким образом, зная K и H, мы можем найти ₁ и ₂ .

Определение. Точки на поверхности, в которых

K > 0 ( ₁ и ₂ одного знака) называются эллиптическими;

K < 0 ( ₁ и ₂ разных знаков) – гиперболическими;

K = 0, H  0 ( ₁= 0, ₂  0) – параболическими;

K = H = 0 ( ₁= ₂= 0) – точками уплощения;

₁= ₂  0 – омбилическими точками (частный случай эллиптических

точек).

Определение. Кривая в касательной плоскости, которая определяется уравнением II((;\s\up9( (, (;\s\up9( () = 1 называется индикатрисой кривизны или индикатрисой Дюпена (знак + или – в случае эллипса выбирается так, чтобы кривая не была мнимой).

Если единичные базисные векторы e1;\s\up8((, e2;\s\up8(( в касательной плоскости имеют главные направления, то уравнение индикатрисы Дюпена

₁₁² + ₂ ₂² = 1.

В эллиптической точке это будет, очевидно, эллипс; в гиперболической – пара сопряжённых гипербол; в омбилической – окружность; в точке уплощения – пустое множество. В параболической точке уравнение индикатрисы Дюпена имеет вид ₂₂² = 1 или ₁₁² = 1, т.е. это будет пара параллельных прямых.

Определение. Направления на поверхности, в которых нормальная кривизна равна нулю, называются асимптотическими.

Асимптотические направления, очевидно, находятся из уравнения II((;\s\up9( (, (;\s\up9( () = 0. Если базисные векторы в касательной плоскости имеют главные направления, то эти направления определяются уравнением

₁₁² + ₂ ₂² = 0.

В эллиптической точке асимптотических направлений, очевидно, нет; в гиперболической точке их два, и они совпадают с асимптотами гиперболы, являющейся индикатрисой кривизны. В параболической точке асимптотическое направление одно и оно параллельно прямым, составляющим индикатрису кривизны. В точке уплощения любое направление является асимптотическим. В асимптотических направлениях поверхность «очень мало» отклоняется от касательной плоскости.

Определение. Линия на поверхности называется линией кривизны, если её касательный вектор в каждой точке коллинеарен главному направлению.

Осталось выяснить, как же найти главные направления и главные кривизны. Имеем формулу

k_o= .

Продифференцируем ее по ₁ или по ₂ и приравняем производные к нулю (т.к. в гл. направлениях кривизна экстремальна):

= 0  II·I = I·II.

Отсюда

= = k_o.

В координатах это равенство даёт два равенства:

= k_o, = k_o. (18)

Первое получается дифференцированием по ₁, второе – по ₂. Отсюда получаем уравнение для нахождения главных направлений:

– = 0.

В удобной для запоминания форме оно выглядит так:

₂² – ₁₂ ₁²

E F G = 0. (19)

L M N

(можно проверить непосредственным вычислением, что две последние формулы совпадают). Это уравнение после раскрытия определителя примет вид

a₁² + b₁₂ + c₂² = 0.

Разделим его на ₂² и получим квадратное уравнение относительно неизвестного ₁: ₂

a² + b + c = 0.

В омбилической точке и точке уплощения решений будет бесконечное количество (поскольку любое направление в этих точках является главным). В остальных точках решений будет 2. Тем самым, мы находим два неколлинеарных вектора x;\s\up8(((₁: ₂), y;\s\up8(((₁: ₂), координаты которых определяются с точностью до пропорциональности. Подставляя их координаты в любое из равенств (18), находим главные кривизны ₁ и ₂ : оба равенства должны давать одинаковый результат. В одном из равенств может получиться неопределенность 0/0, тогда второе обязательно даст результат.

Равенства (18) можно переписать ещё и в таком виде:

(20)

(L – k_oE)₁ + (M – k_oF)₂ = 0,

(M – k_oF)₁ + (N – k_oG)₂ = 0.

Э та система имеет ненулевое решение ₁: ₂  её определитель равен нулю:

L – k_oE M – k_oF

M – k_oF N – k_oG

 (EG – F ²)k_o² – (LG – 2FM + NE)k_o + LN – M ² = 0.

Корнями этого квадратного уравнения будут ₁ и ₂. Таким образом мы можем найти главные кривизны из этого уравнения, не находя сами направления, а потом уже из (18) найти главные направления. Применяя к последнему уравнению теорему Виета, получаем

H = (₁+ ₂ ) = , K = ₁· ₂ = . (21)

Мы получаем ещё один путь решения: можно вычислить сначала K и H по формулам (21), а потом найти ₁ и ₂ из уравнения (17). Подставляя эти величины вместо k_o в (20) мы найдём главные направления.

Как мы уже отмечали, гауссову кривизну можно вычислить с помощью одной только первой квадратичной формы, и поэтому она не изменяется при изгибаниях поверхности. Например, для плоской области ₁= ₂= 0  K = 0. Для цилиндра или конуса направление образующих является асимптотическим, т.е. нормальная кривизна поверхности в этом направлении равна нулю. В направление, перпендикулярное образующим будет главным, и в этом направлении нормальная кривизна не будет равна нулю. Но все равно, произведение ₁· ₂ равно нулю, как и для плоской области. При изгибании области на сфере невозможно получить поверхность, у которой есть хотя бы одна точка с окрестностью седлообразной формы, как на гиперболическом параболоиде, потому что седлообразные точки являются гиперболическими, а для сферы K > 0.

Замечание. Иногда используется дифференциальная форма записи второй квадратичной формы: Ldu² + 2Mdudv + Ndv². Она оказывается полезной, когда требуется составить дифференциальное уравнение кривой на поверхности, обладающей некоторым заданным свойством. Например, дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид:

Ldu² + 2Mdudv + Ndv² = 0.

Уравнение (19) в дифференциальной форме

dv² – dudv du²

E F G = 0 (19)

L M N

представляет собой дифференциальное уравнение линий кривизны.