Глава 4. Понятие многообразия
Мы определили понятие двумерной поверхности в трёхмерном пространстве. Однако во многих разделах математики используются поверхности бóльшей размерности, расположенные в каком-либо пространстве, либо внутри другой поверхности. Кроме того рассматриваются такие поверхности сами по себе, без объемлющего из пространства.
Простейший пример необходимости такого подхода. Уже доказано, что пространство, в котором мы находимся является искривлённым. Oно представляет из себя не евклидово пространство, а трёхмерную поверхность. Её можно рассматривать как вложенную в четырёхмерное пространство-время (пространство Минковского). Но если речь не идёт о теории относительности, а только о геометрической форме пространства, эту поверхность следует рассматривать «саму по себе».
Представьте себе, что некоторое двумерное существо живёт в двумерном мире, где сумма углов любого треугольника равна двум прямым и имеет место теорема Пифагора, как и на плоскости. Это существо умеет измерять расстояния между точками. Но мир достаточно большой и измерить его целиком пока не представляется возможным (т.е. наше существо не выходит за рамки некоторой небольшой окрестности). Может ли это существо определить, является ли его мир плоскостью, цилиндром или конусом? Нет, не может. Маленькие кусочки цилиндра или конуса с точки зрения внутренней геометрии устроены точно так же, как и кусочек плоскости.
В похожей ситуации находится и человек. Мы не можем представить себе геометрию Вселенной «в целом». Мы можем только узнать, что ближайшая к нам часть Вселенной топологически устроена, как евклидово пространство; но эта часть не является изометричной части евклидова пространства (т.е. длины кривых не совпадают с длинами кривых в евклидовом пространстве).
Так как же определить понятие многомерной поверхности, которая не находится в объемлющем её пространстве? Коротко мы попытаемся ответить на этот вопрос в данной главе.
О
пределение.
Говорим, что топологическое пространство
(M,)
удовлетворяет аксиоме отделимости
Хаусдорфа (называется хаусдорфовым),
если у любых двух различных точек P,QM
существуют непересекающиеся окрестности
V,WM.
Определение. Хаусдорфово топологическое пространство (M,) называется n-мерным топологическим многообразием, если оно локально гомеоморфно открытому подмножеству евклидова пространства Rn. Это означает, что для каждой точки PM существует её окрестность Wi в M и гомеоморфизм i : Wi – Ui , где Ui – область в евклидовом пространстве. Пара (Wi, i) называется картой, а совокупность всех таких карт называется атласом многообразия M. При этом ещё предполагается, что у многообразия должен существовать атлас, состоящий из конечного или счётного количества карт, накрывающий всё многообразие.
Пусть две карты (Wi, i) и (Wj, j) многообразия M пересекаются: Wij= Wi Wj. Тогда множество Wij оказывается изображённым сразу на двух картах: Uij=i(Wij), Uji=j(Wij). Возникает отображение ij = i–1j : Uij – Uji. Поскольку оба отображения i и j являются гомеоморфизмами, то ij – тоже гомеоморфизм.
О
пределение.
Гомеоморфизм ij
: Uij
–
Uji
называется функцией перехода от
карты (Wi,
i)
к карте (Wj,
j).
Если эти функции для всех карт
являются дифференциуемыми класса Ст,
то многообразие M
называется дифференцируемым
многообразием класса Ст.
П
римеры.
1. Окружность – это одномерное
многообразие. В целом, она не гомеоморфна
открытому интервалу числовой прямой,
но окрестность любой её точки является
простой дугой, т.е. гомеоморфна интервалу.
2
.
Любая простая поверхность – это
двумерное многообразие. Например, для
сферы S2 атлас
может состоять из двух карт: (S2\{N},
p1) и (S2\{S},
p2), где p1
– стереографическая проекция из
северного полюса N
на плоскость, а p2
– из южного S.
Первое отображение мы уже рассматривали
в §4 главы 1.
Примем без доказательства, что отображение p2–1p1 является дифференцируемым класса С. Поэтому сфера есть дифференцируемое многообразие класса С.
Для того, чтобы изучить геометрические свойства многообразия необходимо определить понятия кривой на многообразии, и более общее понятие подмногообразия (многообразия, которое содержится в данном многообразии), а также понятия касательного вектора и векторного поля на многообразии. Эти определения приводятся в рамках спецкурса «Топология и риманова геометрия».