§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.

Определение. П усть  – регулярная кривая, P – любая точка, а Q– близкая к ней точка. Обозначим: – угол между касательными к кривой в точках Р и Q, s – длина дуги PQ. Если существует предел

lim;Q (P= k,

то эта величина называется кривизной кривой  в точке Р. Другими словами,

кривизна кривой – это скорость поворота её касательной.

Теорема 4. Регулярная кривая  класса С² в каждой своей точке имеет кривизну. Если r;\s\up8(( = c(s) – уравнение кривой с естественным параметром, то k = |c; ··(s)|.

Доказательство. Пусть Р = c(s), Q = c(s + s), тогда векторы c; ·(s) и c; ·(s + s) будут единичными направляющими векторами касательных в этих точках. Отложим их из одной точки. Получим равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 1. Тогда находим основание:

|c; ·(s + s) – c; ·(s)| = 2sin .

Отсюда

= = = · .

Перейдем здесь к пределу при s  0.

|c; ··(s)| = lim; Ds (0 ·lim; Ds (0= 1· k ,

т .к. при s 0 также  0. Что и требовалось доказать.

Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметром

k = = . (11)

Если кривая расположена на плоскости, то мы имеем c₃  0. Поэтому получаем формулу для плоских кривых:

k = . (11)

(в данном случае mod означает числовой модуль).

Если кривая на плоскости задана уравнением в явном виде y=f(x), то мы можем переписать его в параметрическом виде

x = t, y=f(t).

Применим формулу (11):

k = .

Раскроем определитель и заменим обратно t на x. Окончательно получаем:

k = . (12)

Теорема 5. 1) Если кривизна кривой равна нулю всюду, то эта кривая есть прямая линия.

2) Если кривая плоская и ее кривизна постоянна k=k_o= const>0, то это кривая – дуга окружности радиуса R =1/ k_o .

Доказательство. Докажем только первый пункт. Пусть r;\s\up8((= c(s) – параметрическое уравнение кривой с естественным параметром. Имеем k = |c; ··(s)|  0  c; ··(s)  o;\s\up8(–( . В развёрнутом виде получаем систему дифференциальных уравнений, и находим её решение:

 

где b₁, b₂, b₃ – постоянные величины. Получили параметрические уравнения прямой.

О пределение. Пусть  некоторая кривая, Р – точка на ней, Q, R – близкие к ней точки; если при Q и R стремящихся к Р окружность  стремится занять определенное положение _o, то окружность _o называется соприкасающейся окружностью к кривой  в точке Р, а её центр O и радиус R называются центром и радиусом кривизны кривой  в точке Р.

Примем без доказательства, что  и _o имеют в точке Р одинаковую кривизну, а поскольку кривизна окружности радиуса R равна 1/R, то R = 1/k . Центр кривизны кривой в точке P лежит на главной нормали к кривой в точке P.

О пределение. Пусть  – некоторая кривая, Р – точка на ней, Q – близкая к Р точка, а  – угол между соприкасающимися плоскостями в точках Р и Q, s – длина дуги РQ;. Если существует предел lim;Q(P , то он называется абсолютным кручением

кривой  в точке Р и обозначается || (греческая буква “каппа”). То есть абсолютное кручение – это скорость поворота соприкасающейся плоскости.

При этом очевидно, что угол между соприкасающимися плоскостями будет равен углу между бинормалями в точках Р и Q .