- •Глава 1. Элементы топологии. §1. Понятие метрического пространства. Расстояние между множествами. Диаметр множества.
- •§2. Открытые множества. Понятие топологического пространства.
- •§3. Замкнутые множества. Замыкание.
- •§4. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм.
- •§1. Вектор-функция скалярного аргумента.
- •§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная к ривая. Замена параметра.
- •§3. Касательная прямая. Нормальная п лоскость кривой.
- •§4. Соприкасающаяся плоскость к кривой. Главная нормаль. Бинормаль.
- •§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.
- •Теорема 6. Регулярная кривая класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой , то
- •§7. Вид кривой в подвижном репере
- •§8. Огибающая семейства плоских кривых.
- •Глава 3. Теория поверхностей §1. Понятие поверхности.
- •§2. Кривые на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •§3. Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности, угол между кривыми, площадь поверхности.
- •§4. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Теорема Менье.
- •§5. Главные направления, главные кривизны, гауссова и средняя кривизна.
- •§6. Соприкасающийся параболоид к поверхности.
- •§7. Геодезические линии на поверхности.
- •§8. Теорема Гаусса-Бонне.
- •§ 9. Эйлерова характеристика поверхности.
- •Глава 4. Понятие многообразия
§3. Касательная прямая. Нормальная п лоскость кривой.
Определение. Пусть – некоторая кривая, P – точка на ней. Выберем близкую к ней точку Q. Прямую PQ назовем секущей. Если при Q – P секущая стремится занять определенное положение l, то прямая l называется касательной к кривой в точке P.
Математически более точным является следующее определение.
Определение. Пусть – некоторая кривая, P – точка на ней, а l – некоторая прямая, проходящая через P. Выберем близкую к P точку Q. Обозначим d = PQ , – расстояние от Q до l. Если Combin = 0, то прямая l называется касательной к кривой в точке P.
Теорема 1. Гладкая класса C1 (т.е. регулярная) кривая имеет в каждой своей точке касательную и, притом, единственную.
Доказательство. Пусть c(t) – гладкая регулярная параметризация кривой , P = c(to), Q = c(t) – близкая к P точка. Тогда
PQ;\s\up10( –( = c(t) – c(to) , d = PQ;\s\up10( –( = c(t) – c(to) .
Пусть l – некоторая прямая, проходящая через P, – единичный направляющий вектор этой прямой, а – угол между и PQ;\s\up10( –(. Тогда
= dsin = PQ;\s\up10( –( sin = PQ;\s\up10( –( ,
(мы домножили на , т.к. =1). Отсюда
= = = .
Перейдем в этом равенстве к пределу при d – 0 t – to :
lim;\s\do9(t ( to = .
Значит, равенство нулю этого предела равносильно c(to) = o;\s\up8(–( c(to) . Таким образом, прямая l будет касательной вектор c(to) будет её направляющим вектором. Поскольку путь c(t) регулярный, то c(to) o;\s\up8(–( , а значит, касательная прямая существует и однозначно определяется данным вектором и точкой P = c(to).
П усть кривая задана уравнением r;\s\up8(–( = c(t).Из теоремы вытекает, что касательная к , проходящая через точку P(xo, yo, zo) = c(to), задается уравнением
= = . (1 )
Если кривая расположена на плоскости, то в этом уравнении будет отсутствовать второе равенство (координата z).
Кривая на плоскости может быть задана уравнением в неявном виде:
F(x, y) = 0. (2)
Пусть r;\s\up8(–( = c(t) – параметрическое уравнение этой же кривой; в развёрнутом виде:
x = x(t),
y = y(t).
Тогда при подстановке этих уравнений в (2) мы получаем тождество:
F(x(t), y(t)) 0.
Продифференцируем его по t :
x(t) + y(t) = 0. ()
Обозначим grad F = . Тогда равенство () равносильно
(grad F) · c(t) 0.
Это означает, что в каждой точке P=c(to) на кривой вектор градиента gradPF, вычисленный в этой точке перпендикулярен вектору c(to), т.е. является вектором нормали для касательной к кривой в этой точке P. Значит уравнение касательной в точке P имеет вид:
(x – xo) + (y – yo) = 0, (3)
где все производные вычисляются в точке P(xo, yo).
Если кривая задана уравнением в явном виде y = f (x), то мы можем переписать уравнение так: y – f (x) = 0, и, применяя уравнение (2), получим уравнение касательной
y – yo = f (xo)(x – xo). (4)
Определение. Любая прямая, проходящая через точку P, перпендикулярно касательной к кривой в этой точке называется нормалью кривой. Если регулярная кривая расположена на плоскости, то нормаль у нее в каждой точке одна, а если кривая находится в пространстве – то бесконечно много. Тогда все нормали лежат в одной плоскости перпендикулярной касательной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью к кривой в точке P.
Пусть r;\s\up8(( = c(t) – параметрическое уравнение кривой, P(xo, yo, zo) = = c(to). Тогда вектор c(to) будет перпендикулярен нормальной плоскости, а значит уравнение этой плоскости имеет вид:
c1 (to) (x – xo) + c2 (to)(y – yo) + c3 (to)(z – zo) = 0. (5)
Если кривая расположена на плоскости, то уравнение нормали к ней в точке P:
c1 (to) (x – xo) + c2 (to)(y – yo) = 0.
Если кривая задана уравнением в неявном виде (2), то вектор gradPF будет направляющим вектором нормали к ней в точке P, а значит уравнение нормали:
= . (6)