- •Глава 1. Элементы топологии. §1. Понятие метрического пространства. Расстояние между множествами. Диаметр множества.
- •§2. Открытые множества. Понятие топологического пространства.
- •§3. Замкнутые множества. Замыкание.
- •§4. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм.
- •§1. Вектор-функция скалярного аргумента.
- •§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная к ривая. Замена параметра.
- •§3. Касательная прямая. Нормальная п лоскость кривой.
- •§4. Соприкасающаяся плоскость к кривой. Главная нормаль. Бинормаль.
- •§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.
- •Теорема 6. Регулярная кривая класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой , то
- •§7. Вид кривой в подвижном репере
- •§8. Огибающая семейства плоских кривых.
- •Глава 3. Теория поверхностей §1. Понятие поверхности.
- •§2. Кривые на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •§3. Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности, угол между кривыми, площадь поверхности.
- •§4. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Теорема Менье.
- •§5. Главные направления, главные кривизны, гауссова и средняя кривизна.
- •§6. Соприкасающийся параболоид к поверхности.
- •§7. Геодезические линии на поверхности.
- •§8. Теорема Гаусса-Бонне.
- •§ 9. Эйлерова характеристика поверхности.
- •Глава 4. Понятие многообразия
§6. Соприкасающийся параболоид к поверхности.
О пределение. Пусть две поверх-ности и F имеют общую точку P и общую касательную плоскость в этой точке. Пусть S – близкая к P точка. Проведем через S прямую, перпендикулярную плоскости . Она пересечет F в некоторой точке Q . Обозначим d = | PS | , =|QS | . Говорят, что поверхности и F соприкасаются в точке P, если Combin = 0.
Теорема 3. Пусть – регулярная поверхность класса C2. Тогда в каждой ее точке существует, и притом единственный, соприкасающийся параболоид, который может вырождаться в параболический цилиндр или плоскость.
Доказательство. Пусть P – произвольная точка, а – касательная плоскость к в точке P. Введем в пространстве декартову СК Oxyz так, чтобы P = O, а совпадала с Oxy. Тогда поверхность в окрестности точки P можно задать уравнением в явном виде
z = f(x, y).
При этом, (0, 0) = 0. В соответствии с (7) уравнение касательной плоскости в точке P имеет вид
z = x · fx(0, 0) + y · fy(0, 0).
Но в нашей СК касательная плоскость имеет уравнение z = 0. Значит,
fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0. ()
Поэтому разложение функции f(x, y) в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0) имеет вид:
f(x, y) = (fxxx2 + 2fxyxy + fyyy2) + (x, y)(x2 + y2),
где (x, y) – 0 при x, y – 0. Значит, уравнение поверхности в окрестности точки P имеет вид
z = (fxxx2 + 2fxyxy + fyyy2) + (x, y)(x2 + y2).
(все производные вычисляются в точке (0, 0)). Определим поверхность F уравнением
z = (fxxx2 + 2fxyxy + fyyy2). ()
Пусть S(x, y, z) – близкая к P точка. Тогда точка QF имеет те же координаты x, y, что и точка S, т.е. Q(x, y, z)
= z – z= (x, y)(x2 + y2) , d = | OS | = ;
= – 0
при x, y – 0, т.к. 0 1.
Выясним, какого типа поверхность F определяется уравнением (). С учетом (), формулы (13) дают L = fxx, M = fxy , N = fyy . Значит,
уравнение F имеет вид
2z = L x 2 + 2M xy + N y2 . (22)
Если мы, к тому же, направим координатные оси Ox и Oy по главным направлениям поверхности в точке P, то уравнение F примет вид
2z = 1x2 +2 y2 .
Теперь очевидно, что для эллиптической точки P поверхность F будет эллиптическим параболоидом, для гиперболической – гиперболическим параболоидом; для параболической точки P уравнение F примет вид
2z = 1x2 или 2z = 2 y2,
а значит F будет параболическим цилиндром. В точке уплощения имеем уравнение 2z = 0 F будет плоскостью.
Е динственность соприкасающегося параболоида примем без доказательства.
Мы выяснили, что
1) ближайшая окрестность эллиптической точки P похожа на окрестность вершины эллиптического параболоида;
2 ) ближайшая окрестность гиперболической точки имеет седлообразную форму, как область на гиперболическом параболоиде.
3) ближайшая окрестность параболической точки похожа на область на параболическом цилиндре.
4 ) ближайшая окрестность точки уплощения мало отличается от плоской области, но более точное изучение может показать, что эта окрестность имеет очень сложную структуру.
Пусть F – соприкасающийся
параболоид к поверхности в точке P . Пусть декартова СК в пространстве выбрана также, как и в доказательстве теоремы и (22) – уравнение F. Рассмотрим сечение F плоскостью z = 1/2 . Получившуюся кривую спроецируем в касательную плоскость. Тогда уравнение проекции будет 1x2 +2 y2 = 1. Значит будет индикатрисой кривизны.
Заметим, что в точке P первая и вторая квадратичные формы для и для F одинаковы. Отсюда следует, что нормальная кривизна поверхности и ее соприкасающегося параболоида в любом направлении одинакова.