§1. Вектор-функция скалярного аргумента.

Определение. Пусть E³ – евклидово векторное пространство, U – некоторое множество на прямой, плоскости или в пространстве. Говорят, что на U задана вектор-функция, если каждой точке AU сопоставлен вектор r;\s\up8(((A)  E³. Если I  R – некоторый интервал числовой прямой, то r;\s\up8((: I ^– E³ называется вектор-функцией скалярного аргумента.

Пусть t  I , а r;\s\up8(((t)  E³ – его образ при отображении r;\s\up8((: I ^– E³. В E³ выберем ОНБ {i, j, k}. Тогда вектор r;\s\up8(((t) мы можем разложить по базису:

r;\s\up8(((t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k

(в других обозначениях: r;\s\up8(((t)= r₁(t)i + r₂(t)j + r₃(t)k). Таким образом, задание одной вектор-функции равносильно заданию трех скалярных (обычных) функций x(t), y(t), z(t); x: I ^– R, y ^: I ^– R, z: I ^– R.

Понятия предела, непрерывности и производной вводится аналогично таким же понятиям для обычных функций.

Определение. Пишем, что a;\s\up8(( = lim;\s\do9( t –( tor;\s\up8(((t) , если lim;\s\do9( t –( to|r;\s\up8(((t) – a;\s\up8(( | = 0 (здесь уже получается предел обычной функции). Это равносильно следующему:

 > 0 : | t – t_o| <   |r;\s\up8(((t) – a;\s\up8(( | < .

Говорим, что r;\s\up8(((t) непрерывна при t = t_o, если

lim;\s\do9( t –( tor;\s\up8(((t) = r;\s\up8(((t_о) ;

r;\s\up8(((t) непрерывна на интервале I , если она непрерывна  t  I .

Определение. Производная вектор-функции r;\s\up8((: I ^– E³ в точке t_o I определяется по формуле

r;\s\up8(( (t_о) =lim;\s\do9( t –( to .

Если предел существует для каждого t_o I и t_o не фиксировать, то получим новую вектор-функцию r;\s\up8(( : I ^– E³.

Примем без доказательства, что r;\s\up8(( (t) = x^(t)i + y^(t)j + z^(t)k , т.е. вычислять производную вектор-функции можно покоординатно.

Вектор-функцию r;\s\up8(((t) также можно дифференцировать. Получим вектор-функцию r;\s\up8(((t). Далее, естественным образом можем определить и производные высших порядков.

Определение. Говорим, что r;\s\up8(((t) принадлежит классу Cⁿ(I), если она определена на интервале I, у неё существуют все производные до порядка n включительно, и они непрерывны.

Определение. Вектор-функция r;\s\up8(((t) называется регулярной на интервале I , если | r;\s\up8(( (t) | > 0 (r;\s\up8(( (t)  o;\s\up8(( )  t  I .

Пусть r;\s\up8(((t) и p;\s\up8(((t) – две вектор-функции, определенные на одном интервале I. Тогда для них можно ввести такие же алгебраические операции, что и для обычных векторов: сложение, вычитание, умножение на число, скалярное, векторное произведения.

(r;\s\up8((  p;\s\up8(( )(t) = r;\s\up8(((t)  p;\s\up8(((t), (r;\s\up8(()(t) = r;\s\up8(((t),

(r;\s\up8(( · p;\s\up8(( )(t) = r;\s\up8(((t) · p;\s\up8(((t), (r;\s\up8((  p;\s\up8(( )(t) = r;\s\up8(((t)  p;\s\up8(((t),  t  I .

Для трёх вектор-функций, определенных одном том же интервале I, можно определить смешанное произведение (r;\s\up8(( p;\s\up8(( h;\s\up9(( )(t) = r;\s\up8(((t)p;\s\up8(((t)h;\s\up9(((t)  t  I . Мы получим новые функции (векторные или скалярные), которые тоже можно дифференцировать. При этом выполняются те же правила дифференцирования, что и для операций над обычными функциями:

(r;\s\up8((  p;\s\up8(( ) = r;\s\up8((   p;\s\up8(( , (r;\s\up8(() = r;\s\up8(( ,

(r;\s\up8(( · p;\s\up8(( ) = r;\s\up8((  ·p;\s\up8(( + r;\s\up8(( ·p;\s\up8(( , (r;\s\up8((  p;\s\up8(( ) = r;\s\up8((  p;\s\up8(( + r;\s\up8((  p;\s\up8(( .

Упражнение. Используя формулу для вычисления скалярного произведения по координатам, самостоятельно докажите, что имеет место равенство (r;\s\up8(( · p;\s\up8(( ) = = r;\s\up8((  ·p;\s\up8(( + r;\s\up8(( ·p;\s\up8(( .

Также для вектор-функции имеет место формула Тейлора:

r;\s\up8(((t+t) = r;\s\up8(((t) + tr;\s\up8(( (t) + r;\s\up8(( (t) +…+ (r;\s\up8(( ⁽ⁿ⁾(t) + (t, t)),

где (t, t) – бесконечно малая вектор-функция, т.е. lim;\s\do9( (t –( 0(t, t) = o;\s\up8(( .

Для вектор-функции также можно определить понятия первообразной, неопределенного и определенного интегралов.

Если отложить все векторы r;\s\up8(((t), t  I, от одной точки O – начала координат, то их концы образуют множество точек, которое называется годографом вектор-функции r;\s\up8(((t).

В дальнейшем, стрелочку над обозначением вектор-функции ставить не будем.